complexe vergelijking.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 31-01-'14, 14:42

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

complexe vergelijking.

Ik kom ergens niet uit.

Dus je hebt:
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
,

Vermenigvuldig beide leden met z:
\(z^5+z^4+z^3+z^2+z=0\)
Trek hiervan nu de originele vergelijking af:
\(z^5-1=0 \iff z=\sqrt[5]{1}\)
Dit klopt behalve dat voor z=1, alle andere 5de machtswortels van 1 voldoen aan de vergelijking. Ik snap uiteraard dat 1 geen oplossing van de vergelijking is, vul die immers in.

Mijn vraag is: waar in die redenering wordt 1 uitgesloten?

EDIT: dit lijkt op zo'n vals bewijsje waarbij 1=0
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 15:59

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: complexe vergelijking.

Het zal wel iets met dit te maken hebben:

http://en.wikipedia....#Power_and_root

Maar waar precies ligt de fout in mijn voorbeeld?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:02

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: complexe vergelijking.

Ik begrijp je misschien verkeerd, maar z5 = 1, heeft 5 oplossingen hè... Eentje daarvan is z=1, maar er zijn nog vier complexe. Jij hebt nu net die ene oplossing van z5 = 1 die niet de oplossing is van je oorspronkelijke vraag ;) . Alle vier de andere zijn dat wél.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:12

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: complexe vergelijking.

Drieske schreef: ↑vr 31 jan 2014, 16:02
Alle vier de andere zijn dat wél.
Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 14:42
alle andere 5de machtswortels van 1 voldoen aan de vergelijking.
Ja dat wist ik :P

Mijn vraag is waarom 1 niet en de andere wel.

Als je 1 invult is het triviaal dat dit geen wortel is dus zo'n antwoord zoek ik ook niet.

Ik vraag me af in welke stap je kan zeggen: nu doen we dit en hierdoor is 1 geen wortel.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:25

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: complexe vergelijking.

Natuurlijk is z=1 een oplossing: 1^5-1=0.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:26

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 14:42
Vermenigvuldig beide leden met z:


Het probleem is dat beide leden nul zijn. Je kunt inderdaad met z vermenigvuldigen, maar omdat beide leden nul zijn kun je net zo goed met een willekeurig ander object vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld met
\(z^{33}\)
, wat tot een vergelijking met 37 oplossingen zou leiden.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:34

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Trek hiervan nu de originele vergelijking af


Je lost dan eigenlijk de vergelijking:
\( z\cdot 0 - 0 = 0 \)
op.

logisch dat daar gekke dingen voor z uit kunnen komen.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 16:42

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: complexe vergelijking.

Math-E-Mad-X schreef: ↑vr 31 jan 2014, 16:26
Bijvoorbeeld met
\(z^{33}\)
, wat tot een vergelijking met 37 oplossingen zou leiden.
Er is inderdaad een oplossing teveel (die 1), zoals ik al had aangegeven.

Maar dan zou je dus elke oplossing die je vindt moeten controleren om zo er de foute uit te halen.

Ik vroeg me af of je tijdens het oplossen op deze manier al kunt voorspellen welke zullen afvallen.

Het is niet echt een propere manier van oplossen zoals je in post 7 aangeeft, maar het geeft wel 4 correcte oplossingen.

Die had ik anders nooit zo gemakkelijk gevonden, dat is dan ook de reden waarom ik deze methode niet direct in de vuilbak gooi.

Laat ik de vraag anders stellen:
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\iff\)
\(z^5+z^4+z^3+z^2+z=0\iff\)
\(z^5-1=0 \iff z=\sqrt[5]{1}\)
Welke
\( \iff \)
is verkeerd en waarom?

En hoe komt het dat alle juiste oplossingen ook gevonden worden?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 17:05

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: complexe vergelijking.

Ik ben iets op het spoor:
\(z^4+z^3+z^2+z+1=a\iff\)
\(z^5+z^4+z^3+z^2+z=az\iff\)
\(z^5+a-1=az\iff z^5-1=az-a\iff\)
\(z^5-1=(z-1)a \iff a= (z^5-1)/(z-1)\)
Die laatste mag enkel als
\(z \neq 1\)
.

Stel dan a=0 en je krijgt dezelfde uitdrukking maar met voorwaarde dat
\(z \neq 1\)
.

Waarbij het probleem van de extra oplossing opgelost is.

Ik zie wel nog altijd niet waar ik deel door 0 of iets anders fout doe in de eerdere methode...

Meestal worden zulke zaken veroorzaakt door deling door nul.

Iemand een idee?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 17:40

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 16:42
Het is niet echt een propere manier van oplossen zoals je in post 7 aangeeft, maar het geeft wel 4 correcte oplossingen.

Die had ik anders nooit zo gemakkelijk gevonden, dat is dan ook de reden waarom ik deze methode niet direct in de vuilbak gooi.


Je methode geeft alle goeie antwoorden, maar er kunnen ook een willekeurig aantal foute antwoorden bij komen. In jouw geval kwam er een vijfde-graadsvergelijking uit, dus daar kan maar maximaal één fout antwoord uit rollen.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 17:49

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Je kan duidelijk zie dat dit incorrect is:
Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 17:05
\(z^5+z^4+z^3+z^2+z=az\iff\)
\(z^5+a-1=az\)


wanneer je a=0 invult. Want de onderste vergelijking klopt dan voor z=1, maar de bovenste vergelijking niet.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 17:58

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 17:05
Ik zie wel nog altijd niet waar ik deel door 0 of iets anders fout doe in de eerdere methode...

Meestal worden zulke zaken veroorzaakt door deling door nul.
Of door vermenigvuldigen met nul.

Je oplossings methode komt er op neer dat je het probleem zodanig herschrijft dat hij van de volgende vorm is:
\( z\cdot f(z) - f(z) = g(z)\)
Dat kan prima, want dat is een vergelijking met één onbekende, dus dit moet op te lossen zijn.

Tenzij...
\(f(z) = g(z) = 0\)
geldt. Dan komt er onzin uit.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 18:05

Math-E-Mad-X

Gebruikersavatar
Berichten: 2.906

Re: complexe vergelijking.

Nog simpeler uitgelegd:

0 = 0

--> z*0 = 0

--> z kan ieder willekeurig getal zijn.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 19:16

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: complexe vergelijking.

Math-E-Mad-X schreef: ↑vr 31 jan 2014, 17:40

dus daar kan maar maximaal één fout antwoord uit rollen.
Terug naar mijn originele vraag:

Bestaat er een manier om tijdens het oplossen met behulp van die methode, de foute er al uit te halen?

Of gaat dit enkel met trail en error?

Dat was eigenlijk al van in het begin mijn vraag, of het mogelijk is om tijdens het oplossen bepaalde uitkomsten al uit te sluiten.

Als dit niet het geval is, is de enige methode trail and error, en dit neemt heel wat tijd in beslag.

En dan zie ik ook geen reden waarom ze niet allemaal fout zouden kunnen zijn.

Als het vergelijkingen van de vorm
\(z^n+z^{n-1}+...+z+1=0\)
gaat, is het wel altijd die 1 die fout is.

Ik gok dus dat er wel een soort manier bestaat om deze vergelijkingen op een 'mooiere' manier op te lossen.

Daar ben ik naar op zoek.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 31-01-'14, 20:33

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: complexe vergelijking.

Flisk schreef: ↑vr 31 jan 2014, 14:42
Ik kom ergens niet uit.

Dus je hebt:
\(z^4+z^3+z^2+z+1=0\)
,

Vermenigvuldig beide leden met z:
\(z^5+z^4+z^3+z^2+z=0\)
Trek hiervan nu de originele vergelijking af:
\(z^5-1=0 \iff z=\sqrt[5]{1}\)
Dit klopt behalve dat voor z=1, alle andere 5de machtswortels van 1 voldoen aan de vergelijking. Ik snap uiteraard dat 1 geen oplossing van de vergelijking is, vul die immers in.

Mijn vraag is: waar in die redenering wordt 1 uitgesloten?

EDIT: dit lijkt op zo'n vals bewijsje waarbij 1=0
Wat je doet is links en rechts vermenigvuldigen met factor waar de onbekende in zit.

Dan loop je de kans op het invoeren van oplossingen dus daar moet dan achteraf naar gekeken worden.

Je kunt het zelfde (rechtstreekse) resultaat verkrijgen door met (x-1) te vermenigvuldigen.

Beschouw dit:

Vgl 1.
\(x=5\)
Vgl2.
\( x(x-1)=5(x-1)\)
Dit heet wortels invoeren.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”