Springen naar inhoud

GradiŽnt


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Complexe Fred

    Complexe Fred


  • >100 berichten
  • 145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 12:03

Beste,

Ik heb altijd gehoord dat de gradiënt loodrecht op het oppervlak ervan staat, en dat dit de richting van de steilste helling is. Maar deze twee staan toch loodrecht op elkaar?

Ik vermoed dat ik fout zit bij richting van de steilste helling, volgens mij is dit de raakvector aan het oppervlak dat het meest naar boven wijst. (dit is dan de gradiënt)
Maar de gradiënt staat in dat punt ook loodrecht op het oppervlak, dan dan staan deze allebei loodrecht op elkaar?!

Iemand die het foutje ziet? :)

Alvast bedankt!
Sterfelijkheid is de mogelijkheidsvoorwaarde tot een zinvol leven.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 18:22

De gradient staat loodrecht op de niveaukrommes van een oppervlak.

M.a.w als je een functie f(x,y) hebt dan staat te gradientvector LaTeX loodrecht op de kromme LaTeX in het punt LaTeX .

Over de steilste helling, je weet dat de gradient de helling bevat in elke individuele richting (x, y en z).
Als je nu de helling projecteert op een willekeurige richting, kan je dan vinden waarom de gradient zelf de steilste richting aangeeft?

Hint; je kan het best projecteren op een eenheidsvector in de gewenste richting. Weet je hoe je zo'n projectie beschrijft?

#3

Complexe Fred

    Complexe Fred


  • >100 berichten
  • 145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 19:23

Ik heb hier snel een tekening in elkaar geknutseld. Gradiënt in het zwart, ontbonden in zijn componenten (x-as horizontaal en y-as vertikaal), en in het groen de richting van de steilste helling. Zoals je ziet staat de gradiënt volgens mijn tekening (mijn tekening is dus fout) loodrecht op de steilste helling.

Met de gradiënt te projecten op een richting zie ik niet meteen in hoe je dan een oplossing vindt. :(

Hoe je dit moet doen: (nabla . e)*e (Met e een genormeerde richtingsvector)

Bijgevoegde Bestanden

Sterfelijkheid is de mogelijkheidsvoorwaarde tot een zinvol leven.

#4

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 21:41

Het probleem is dat je hier een projectie van het oppervlak gebruikt.
Dit kan een niveaukromme zijn voor een bepaald oppervlak.
Maar door de projectie van je oppervlak op een 2D coordinatenstelsel, gaat er logischerwijs informatie verloren.

Ik heb even geprobeerd wat aanschouwelijke figuren te maken voor de functie(hiervoor had ik controle data) LaTeX .

Ik heb dan een zogenaamde Contourplot gemaakt waarop de niveaukrommes doormiddel van kleuren worden aangegeven. De pijl geeft de gradient in het punt1 met LaTeX .

Niveaukromme.png

De 2de plot, het 3D oppervlak is niet echt bruikbaar maar voor de volledigheid heb ik deze toch even gemaakt. Zie hiervoor de bijlage.

Over je tweede punt in verband met de steilste helling.

Je weet dat je de helling in een bepaalde richting kan vinden met een richtingsafgeleide?
Deze is (vaak)2 gedefinieerd als
LaTeX

Dan volgt uit LaTeX
Dat de richtingsafgeleide maximaal is in de richting die exact samenvalt met de gradient-vector. Aangezien we de vector LaTeX een eenheidsvector kiezen in de definitie.

Voetnoot:
1. Ik heb dit punt gekozen omdat het mooi overeenkomt met een scheidingslijn in de contourplot. Deze komt overeen met de niveaukromme f(x,y) = -0.5
2. Pas nadat ik op enkele pagina's (bijvoorbeeld wikipedia) een andere definitie met een algemene vector zag heb ik deze toevoeging gedaan. Hier zou anders een probleem kunnen ontstaan door vectoren van verschillende lengte te gebruiken.

Bijgevoegde miniaturen

  • Oppervlak.png

Veranderd door JorisL, 03 februari 2014 - 21:45


#5

Complexe Fred

    Complexe Fred


  • >100 berichten
  • 145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:07

Sorry, dat ik terug lastig doe, maar dat van die steilste helling zit me nog dwars.

Ik snap je uitleg wel, als je de richtingsafgeleide wilt maximaliseren moeten de richting en de afgeleide evenwijdig zijn, zodat de cosinus 1 wordt. Maar visueel klopt het precies niet...

Zoals op je driedimensionale figuur, als die witte pijl de gradient voorstelt dan wijst deze toch niet in de richting van de steilste helling?

Of moet je het echt zien als een totale projectie van oppervlak en gradient op het tweedimensionale vlak, want dan wijst de gradient wel in de richting van de steilste helling?

Allezins al heel erg bedankt! :)
Sterfelijkheid is de mogelijkheidsvoorwaarde tot een zinvol leven.

#6

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:25

Ik ben absoluut niet zeker van die 3D grafiek.
Ik heb daar gewoon van de 2D gradient een 3D vector gemaakt door als z-component gewoon de waarde van de niveaukromme in te vullen. Dat lijkt me allemaal nogal ad hoc.

Hiervoor kan misschien best iemand inspringen. Ik krijg het grafisch niet meteen voorgesteld op een onderbouwde manier.

#7

Complexe Fred

    Complexe Fred


  • >100 berichten
  • 145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:34

Ik denk trouwens dat de z-component de waarde -1 zou krijgen ipv -0.5 (dit is de waarde voor het punt (sqrt(2), -1)), want als je voor f(x,y)=z neemt is de richtingsafgeleide volgens de z-as -1.

Maar dat zou niet echt een indrukwekkend verschil maken op de figuur vermoed ik.

Heel erg bedankt, JorisL!
Sterfelijkheid is de mogelijkheidsvoorwaarde tot een zinvol leven.

#8

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:38

De gradiënt in een punt van een functie van 2 variabelen (x,y) die differentieerbaar is in dat punt, is een vector in het x,y vlak waarvan de richting tegengesteld is aan de richting waarin een bal zal rollen (geprojecteerd op het x,y vlak) als hij vanuit stilstand vertrekt vanuit dat punt, als de functie de hoogte boven het punt (x,y) voorstelt.

De gradiënt (een vectorveld) van een potentiaalfunctie (een scalarfunctie) in drie dimensies die de energie van het deeltje als functie van de plaats voorstelt, is tegengesteld gericht aan de richting van de kracht die het deeltje ondervindt. De kracht per eenheid "fluts" is - gradiënt (min gradiënt) van de potentiaalfunctie. Het kan bijvoorbeeld een elektrische potentiaal zijn, "fluts" is dan lading en de gradiënt is een elektrisch veld. Of potentiële energie in een gravitatieveld, "fluts" is dan massa en de gradiënt is het gravitatieveld.

Veranderd door Anton_v_U, 03 februari 2014 - 22:44


#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:47

Je moet het allemaal niet te moeilijk bekijken. De gradient is het vectorveld met als componenten de partieel afgeleiden.
In 3D met een functie z=f(x,y) komt dat dan neer dat je in elk punt van het vlak (x,y) een vector tekent met als componenten de partieel afgeleiden naar x en y in dat punt.

Bekijk eens wat een vectorveld precies is en het wordt wel duidelijk.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 februari 2014 - 22:53

Zoals op je driedimensionale figuur, als die witte pijl de gradient voorstelt dan wijst deze toch niet in de richting van de steilste helling?

  • De gradiënt ligt in het x,y vlak
  • De richting is die van de steilste helling (dus ongeveer andersom aan de witte pijl)
  • De lengte van de pijl is de afgeleide van kromme in die richting - stel je een denkbeeldig vlak voor, loodrecht op het (x,y) vlak en in de richting van de gradiënt. De helling van de functie in dat vlak is de grootte van de gradiënt.

#11

Complexe Fred

    Complexe Fred


  • >100 berichten
  • 145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 februari 2014 - 16:39

Ahzo, de gradiënt is dus evenwijdig met het x,y-vlak. Ja, ik denk dat ik het nu doorheb! :D
Sterfelijkheid is de mogelijkheidsvoorwaarde tot een zinvol leven.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures