Springen naar inhoud

Riemann, somformules, ln(n!), reeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jjooz

    Jjooz


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2014 - 18:18

Ik wist niet helemaal hoe ik de titel zou moeten noemen, maar ik zit met het volgende probleem.
Ik wil aantonen dat geldt:

LaTeX

Ik denk dat het iets te maken heeft met Riemannsommen, ik weet dat je ln(n!) kan schrijven als:

LaTeX

Mijn gok is, dat het linkerdeel de "ondersom" en het rechter deel de "bovensom" is. Ik heb alleen verder geen idee waar ik moet beginnen. Kun je die integralen ook schrijven als sommen?

Kan iemand mij misschien een stukje op weg helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2014 - 18:56

Een interessante opgave. Wat ik meteen kan zien is.
* Je hebt nodig dat de logaritme een monotoon stijgende functie is LaTeX als a<b.
* Een expansie van de integralen als limiet van de riemann som
* Je uitdrukking van ln(n!) als som kan je herschrijven

Ik denk dat je er op die manier zou moeten komen. Probeer het zelf nu nog eens, dan doe ik ondertussen hetzelfde.
Geef ook aan wanneer je welke eventuele eigenschappen je gebruikt.

#3

Jjooz

    Jjooz


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2014 - 20:15

Ik heb niet heel vaak een expansie gemaakt van een integraal, die ik heb gemaakt waren heel erg makkelijk. Ik weet niet precies hoe dit werkt...

LaTeX
Is het iets wat hierop lijkt?

Ik dacht zelf het op te kunnen lossen met e machten, dus:
LaTeX
en via daar kom ik op de ongelijkheid:
LaTeX
Gevoelsmatig klopt dat voor alle n groter/gelijk aan 1, want de limiet van het eerste deel gaat naar 0, maar ik weet niet hoe ik dat aantoon.

Ik ben nu wel beniewd naar die expansie!

Veranderd door Jjooz, 13 februari 2014 - 20:19


#4

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 februari 2014 - 21:36

Ik zou net een stapje terug gaan als je laatste vergelijking.
Dan kan je de ongelijkheid LaTeX bewijzen per inductie.
Dan is de eerste ongelijkheid bewezen. Dan rest de tweede nog.

Ikzelf ben er nog niet helemaal uit op de eerder aangehaalde manier, daar ga ik nu mee verder.

Veranderd door JorisL, 13 februari 2014 - 21:36


#5

Jjooz

    Jjooz


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2014 - 13:46

Ik ga even een computer zoeken... Mijn telefoon haalt om de een of andere reden elke backslash uit de code waardoor het onleesbaar wordt

Veranderd door Jjooz, 15 februari 2014 - 13:51


#6

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2014 - 17:14

Waarom is het voldoende om dat met inductie te doen? Je hebt het dan bewezen dat het geldt voor alle natuurlijke n, maar niet voor alle reële n.

#7

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2014 - 01:37

Ik ga ervan uit dat hier met n een natuurlijk getal bedoeld wordt zoals vaak het geval is in dit soort dingen.
Maar als het geld voor natuurlijke n kan je denk ik wel een uitbreiding maken naar de reele getallen.
In eerste instantie zou ik dan het monotone karakter van de logaritme gebruiken.

#8

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 februari 2014 - 03:27

Ik ga ervan uit dat hier met n een natuurlijk getal bedoeld wordt zoals vaak het geval is in dit soort dingen.


Het is veilig om dit aan te nemen lijkt me, de faculteit functie wordt meestal enkel gedefinieerd binnen natuurlijke getallen.
Die kan uitgebreid worden naar de reële getallen, maar een degelijke cursus behandelt dit wel. Meestal wordt de gamma functie hiervoor gekozen.

Veranderd door Flisk, 17 februari 2014 - 03:27

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#9

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2014 - 09:13

Ikke nie snap...
LaTeX
dus:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
Dit klopt dan toch gewoon niet?

#10

Jjooz

    Jjooz


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2014 - 09:23

Ja, n is uit de natuurlijke getallen... Sorry, dat is mijn fout! Die integraal is over 1 tot n+1. Heb ik verkeerd opgeschreven. Dus dan komt er nog 1 bij.

#11

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2014 - 09:46

Met de aangepaste ondergrens naar 1 is er nog steeds een probleem. Voor, bijvoorbeeld, n=1 is het linkerdeel niet kleiner dan het midden. Bedoel je kleiner of gelijk aan?

#12

Jjooz

    Jjooz


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2014 - 10:03

Kleiner. De eerste integraal is wel goed, de tweede is vanaf 1 ;) dus -1<0<1,614





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures