Springen naar inhoud

Kralenketting omhoog trekken uit bakje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 22 februari 2014 - 12:35

Stel we hebben een kralenketting soepeltjes in een beker gelegd. De kralen zijn rond met straal r, massa m en onderlinge afstand tussen de middelpunten s. De gemiddelde lineaire massadichtheid is dus: λ = m/s . Nu trekken we die kralenketting er met een constante snelheid v en gemiddelde kracht F loodrecht uit omhoog. Dat levert dan per kraal een kinetische energie: Ek = 1/2 . m . v2 . Daarvoor moeten we er per kraal de energie Ein = F.s in steken. Het rendement is dan:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX


Maar hoe nu verder??


De vaste lezers zal het duidelijk zijn waar dit probleem door geïnspireerd is:

http://www.wetenscha...114#entry991114

Maar om dat topic niet onnodig met nog meer probeersels te vervuilen, zoek ik nu eerst hier apart een bevredigende formule voor het rendement η .

Veranderd door Bartjes, 22 februari 2014 - 12:53


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 februari 2014 - 14:42

In dat onderwerp 'bolletje met touwtje' waren we toch tot conclusie gekomen dat de helft van de energie verloren gaat?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 22 februari 2014 - 14:51

Helaas kan dat niet kloppen, want dan zou er voor ronde kralen geen kettingfontein kunnen optreden. Immers:

LaTeX

De ervaring leert echter dat een kettingfontein met ronde kralen wel mogelijk is.

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 23 februari 2014 - 18:31

http://perso.ens-lyo...rom_a_table.htm

Deze experimenten suggereren dat het stuiteren van de kralen bij het op gang komen golven in de ketting teweeg brengen die zich tot een boogje ophopen. De golven bewegen zich immers in beide richtingen, en de golven die zich tegen de bewegingsrichting van de ketting in bewegen blijven een tijdje op de zelfde plaats hangen.

#5

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2014 - 15:53

Volgens mij is het rendement gewoon 1, tenminste als je hetrendement definieert als (in het systeem aanwezige energie)/(op het systeem verrichte arbeid)

Neem aan dat de kralenketting is opgetrokken tot een hoogte h. Totale massa is dus λh

Eerst de in het systeem aanwezige energie .
Deze bestaat uit potentiële- en kinetische energie, Ep en Ek dus
Ek = 1/2λhV^2
dEp = gydm = gyλdy, geïntegreerd van y=0 tot y=h geeft dit Ep = 1/2gλh^2.
Totaal 1/2λhV^2 + 1/2gλh^2

Nu op het systeem verrichte arbeid:
Ook hier twee componenten, de arbeid door de veranderende kracht F en de arbeid die nodig is om de onderste kraal via een stoot over een afstand 0 de snelheid V te geven.
Arbeid door de veranderend kracht F: dA = Fdy. Wat is F hier? . Als de ketting tof hoogte y is opgetrokken dan geldt F = gλy. Dus dA = gλydy, geïntegreerd van y=0 tot y=h geeft dit A = 1/2λgh^2.
Arbeid via stoot op onderste kraal: 1/2dmV^2 . Voor alle kralen wordt dit 1/2mV^2 = 1/2λhV^2.
Totaal 1/2λgh^2 + 1/2λhV^2

Conclusie: op het systeem verrichte arbeid is gelijk aan de in het systeem aanwezige energie.

Kortom rendement is 100%.

Vraag: gelet op de context van je probleem, verwacht je dan een rendement hoger dan 100%, zo ja watdoe ik hier niet goed?

Gr. PGB

#6

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 24 februari 2014 - 16:32

Het gaat mij om de spankracht F in de ketting op het punt waar de kralen uit de beker omhoog komen. Daarbij ga ik er vanuit dat de kralen zeer snel in beweging komen. De daar aanwezige kracht F zal gemiddeld genomen constant blijven.

Daarom begrijp ik je berekening ook niet goed. Wat het rendement betreft, daaronder versta ik het quotiënt van de kinetische energie die de ketting erbij krijgt en de arbeid die de kracht F levert. Zodra het rendement groter is dan 1/2 ben ik al blij.

Veranderd door Bartjes, 24 februari 2014 - 16:38


#7

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 februari 2014 - 22:50

Ik denk dat ik nu beter begrijp wat je bedoelt.
Mogelijk helpt de volgende beschouwing.
Gedurende een korte tijd τ werkt een gemiddelde(constante) kracht F op de kraal met massa m. Dan is de snelheid van de kraal V
Hoe groot is de arbeid die deze kracht gedurende τ sec. op de massa m heeft verricht?

Ga uit van: F = m du/dt, integreer naar de tijd
Dit geeft:

u = F/m.t -----------------------------------------vgl(1)

Als t=τ dan = V, dus

mV = F.τ -------------------------------------------vgl(2)

Arbeid door kracht K:


dA = F.dx = F.udt

vul in u uit vgl (1)

dA = F. F.t/mdt

Integreer naar de tijd van t=0 naar t=τ, dit geeft

A = 1/2m (F.τ)^2

Vul nu F.τ in uit vgl(2), dit levert:

A = 1/2 mV^2

Conclusie: de arbeid verricht door F is gelijk aan de kinetische energie van de kraal.

Vraag: wat is het rendement?

Gr. PGB

#8

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 26 februari 2014 - 16:26

Als je één losse kraal met een constante kracht uit een beker trekt is het rendement gelijk aan 1. De problemen ontstaan pas wanneer je meerdere onderling verbonden kralen omhoog trekt. Dit probleem komt in onderstaande link ook aan de orde:

http://arxiv.org/pdf/1310.4056v2.pdf

#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2014 - 16:34

Je link zegt ook het volgende:
"Classically a = b = 0, this ratio is 1/2 and half the potential energy is dissipated in the pickup process"
Kan je hieruit niet afleiden dat de helft van de energie verloren gaat zoals we eerder hadden afgeleid?
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 26 februari 2014 - 16:44

Het probleem daarmee is dat dan de kettingfontein onmogelijk is. Echter leert de praktijk dat een kettingfontein wel kan optreden. De link geeft een verklaring voor langwerpige schakels, maar hoe werkt dan een ketting met ronde kralen? Daar worstel ik nog mee...

#11

pgbakker

    pgbakker


  • >25 berichten
  • 65 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 februari 2014 - 18:04

In mijn post 7, heb de zwaartekracht niet meegenomen. Hierbij de verbeterde versie.

Ik kijk weer naar de onderste kraal(massa m) die met een gemiddelde kracht F over een kleine afstand s in een korte tijd τ een snelheid krijgt van V.
Toepassen van K= m.a in verticale(y) richting geeft:

F-mg= mdv/dt

Integreren naar de tijd en randvoorwaarde t= 0, v=0 invullen geeft:

v =1/m( F-mg).t. ----------------------vgl. (1)

Uit (1) volgt

V= 1/m(F-mg).τ. ----------------------- vgl.(2)

Nu vgl.(1) nogmaals integreren naar de tijd en randvoorwaarde t=0, y=0 invullen levert:

y = 1/m(F-mg).(t^2)/2. -----------------vgl.(3)

Uit (3) volgt:

s = 1/m(F-mg).(τ^2)/2. ---------------vgl.(4)

We kunnen τ elimineren met (2) en (4) om de kracht F te vinden die nodig is om de onderste kraal in de tijd τ over een kleine afstand s omhoog te verplaatsen en en snelheid V te geven.

We vinden dan:

F = mg + V^2/(2s) ------------------------vgl.(5)

De verrichte arbeid door de kracht F is gelijk aan A = F.s

Met (5) vinden we voor de arbeid:

A = F.s = mgs + 1/2mV^2 ------------------vgl.(6)

Rendement η?

η = 1/2mv^2/(F.s) -----------------------------vgl.(7)

F invullen uit (5) levert:

η = V^2/{2gs+V^2}

We hebben het rendement nu berekend in termen van de oorspronkelijke parameters V en s.

Het rendement is afhankelijk van de factor V^2/(2gs). Noem deze factor voor het gemak even λ. De formule voor het rendement ziet er dan uit als:

η = λ/(1+λ)

Het rendement is dus voor s ongelijk 0 altijd kleiner dan 1.
Voor λ = 1 vind je een rendement van 1/2. En als λ>1 dan is het rendement groter dan 1/2.

Kun je hier verder mee?

Overigens bedankt voor de link, interessant, ik ga het artikel bekijken.

Gr. PGB

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 28 februari 2014 - 19:57

Dank! Ik gun mijzelf wat de theorievorming betreft nu even een rustpauze. Mogelijk zit ik op een verkeerd spoor. Een experiment kan daar wellicht duidelijkheid over geven. Zie:

http://www.wetenscha...post__p__991682





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures