Springen naar inhoud

statistiek normale verdeling



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phoebe123

    Phoebe123


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2014 - 15:43

Bij de volgende vraag hang ik vast:
Van een variabele x is de verwachtingswaarde e(x)=80 en var(x)=16 (dus standaarddeviatie = 4?) De verdeling van x is niet bekend. Geef aan hoe groot de volgende kansen op z'n hoogst (?) kunnen zijn:
P(x<72) of P(x>88)
P(x<68) of P(x>92)
P(x<60) of P(x>100)

De antwoorden zijn als volgt: 0,25; 0,11; 0,04

Als jullie me eentje willen uitleggen, snap ik de andere misschien vanzelf.
Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2014 - 16:03

Bedenk dat bij een normale verdeling geldt dat P(X≥x) = 1-P(Xx) en pas dit toe om de gevraagde kansen te berekenen.



"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

Phoebe123

    Phoebe123


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2014 - 16:13

Ja dat klopt, maar toch gaat het ergens mis. Als ik P(x<72) bereken krijg ik het volgende: P(x<72)=normalcdf(-10^9,72,80,4)=0,02275. Wat doe ik verkeerd? (Of begrijp ik niet goed wat je zegt?). Ik snap wel dat P(x<72)=P(x>88), omdat er geldt P(X>a)=1-P(X<a)

#4

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 maart 2014 - 16:31

Je moet dit anders aanpakken. Wat is de "Slechtst Mogelijke" verdeling waarvoor dus geldt dat P(x<72) + P(x>88) zo groot mogelijk is terwijl de gemiddelde en variantie gelijk zijn aan de gegeven waarden? Waarschuwing: Dat is ZEKER geen normale verdeling!

#5

Phoebe123

    Phoebe123


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2014 - 16:41

Bedankt voor je reactie. Wat voor soort verdeling moet ik dan gebruiken? Ik snap ook niet wat je bedoelt met de Slechtst mogelijke verdeling en hoe ik dit moet berekenen.

#6

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 maart 2014 - 16:48

Je moet bewijzen dat nooit meer dan een fractie x buiten een interval kan liggen. Een manier om dat te bewijzen is om precies die verdeling te berekenen, en dan te laten zien dat het nooit meer kan worden doordat elke verandering oplevert dat het minder wordt.

Wat je zoekt is een verdeling waar je elke waarde die afwijkt van het gemiddelde zo min mogelijk bijdraagt aan de variantie. Als we bijvoorbeeld een 160 en een 0 toe zouden voegen dan is je variantie meteen heel groot, dus dat mag maar heeeeeeel af en toe voorkomen. Je zoekt naar waarden die best vaak mogen voorkomen en toch maar een variantie van 16 opleveren. Aan de andere kant, als je 81 en 79 neemt dan heb je wel al wat variantie, maar nog steeds geen punten die buiten het interval 72-88 liggen, dat draagt dus niet bij aan de fractie die je aan het maximaliseren bent. De vraag is dus: welke getallen zouden er in je waarden moeten zitten om een zo hoog mogelijke fractie buiten je interval te hebben? En vraag 2: hoeveel kunnen dat er dan zijn om je variantie niet te hoog te laten worden?

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 maart 2014 - 17:01

Kan je de grafiek van deze normale verdeling schetsen (Gauss-kromme)? Zo ja, geef daarin aan het gemiddelde (verwachtingswaarde) en de standaarddeviatie.

Ken je de kansen voor het zogenaamde sigma-interval, 2sigma- en 3sigma-interval ... , dat zijn dus opp in je grafiek.

#8

Phoebe123

    Phoebe123


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 maart 2014 - 17:20

Bedankt voor de snelle reacties. Bij het stukje van rwwh snap ik niet wat dit met het berekenen van de kans te maken heeft. Daarnaast kan ik het niet helemaal volgen (sorry). Na het lezen van de reactie van Safe heb ik een tekening gemaakt van de normale verdeling, waarbij ik de waarden die ik weet heb gezet. Ik weet echter niet hoe ik dat hier kan plaatsen. Daarnaast begrijp ik niet wat ik met Sigma-intervallen moet berekenen, maar er is dus wel sprake van een normale verdeling? Zo nee, wat voor soort verdeling is het dan en hoe kom ik aan de juiste kans?

#9

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 maart 2014 - 19:49

Wat is het gemiddelde en de variantie van een populatie van 1x60, 6x80 en 1x100?
En van 1x70, 6x80 en 1x90?
En van 1x71, 6x80 en 1x89?
En van 1x71,9; 6x80 en 1x88,1?

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 maart 2014 - 20:36

Na het lezen van de reactie van Safe heb ik een tekening gemaakt van de normale verdeling, waarbij ik de waarden die ik weet heb gezet.


Weet je wel, wat een standaardnormale verdeling is? Zo ja, wat is P(-1<x<1)?

#11

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 01 maart 2014 - 23:13

Wat heeft dit met een normale verdeling te maken?

Even op gevoel: ik vermoed dat de volgende verdeling waarbij je a moet kiezen zodat de variantie 16 is, de grootste kans geeft (eerste opgave):

p(x) = ½aδ(x-72+ε) + (1-a)δ(80)+½aδ(x-88-ε) met δ(x) de Dirac delta functie en ε>0 maar heel klein
ik had trouwens liever een gelijkteken gezien in de kansen in de opgave

Zo stop je zoveel mogelijk volume in de staart van de verdeling (x<72 en x>88) bij een zo klein mogelijke variantie.

de variantie is E(x-E(x))2 > ax64 =16 dan is a < 16/64 = 0,25

De gevraagde kans moet daarom < 0,25 zijn maar kan daar willekeurig dicht bij liggen. Dat is allemaal geen bewijs natuurlijk maar ik denk niet dat iemand een verdeling kan vinden die een grotere kans geeft bij de gegeven variantie.

Veranderd door Anton_v_U, 01 maart 2014 - 23:13


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 maart 2014 - 13:25

Gegeven: de verdeling is onbekend!
Dan geeft de ongelijkheid van Chebychev (direct) een bovengrens voor de gevraagde kansen ...

Zoek dus op: ongelijkheid van Chebychev in je boek/syllabus of internet.

#13

Phoebe123

    Phoebe123


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 maart 2014 - 22:27

Tot nu toe heb ik alleen maar de normale en binomiale verdeling gehad, maar ik ben er nu wel van overtuigd dat ik die moet loslaten. In mijn boek (=keuzevak) staan geen stukken theorie, alleen opdrachten. Ik heb net op internet gezocht naar de ongelijkheid van Chebyshev. En ben tot het volgende gekomen:


De wet van de grote aantallen legt het verband vast tussen experimentele en theoretische kansen. Als je een experiment maar vaak genoeg en op de juiste wijze herhaalt, nadert de relatieve frequentie van een bepaalde gebeurtenis naar de theoretische kans op die gebeurtenis. Dit is wat er bij de vraag het geval was. Je wist daar namelijk niks over de verdeling, dus verloopt deze via de theoretische kansverdeling op die gebeurtenis. Je kunt dit bij een gegeven E(X) en var(X) berekenen met de ongelijkheid van Chebyshev.
voor c>0 geldt: P(ǀX-µǀ≥c)≤var(X)/c2.

Als ik dit doe komt er inderdaad het goede antwoord uit! Dus daar ben ik al heel blij mee, ik begrijp alleen niet zo goed wát ik doe. Op internet staat alleen het bewijs e.d. maar een logische, begrijpbare uitleg kan ik niet vinden. Het bovenstaande stukje heb ik getypt en snap ik nog, zou iemand het nog een beetje kunnen uitleggen/aanvullen? Alvast erg bedankt, was echt benieuwd hoe ik die som moest oplossen.

#14

rwwh

    rwwh


  • >5k berichten
  • 6847 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 maart 2014 - 22:32

Allemaal heel leuke maar zeer ver gevorderde statistiek hier. Anton_v_U geeft het juiste antwoord (jammer dat het er in een keer staat). Ik denk dat als je m'n drie eerdere vragen beantwoordt je ook begrijpen zal wat die ongelijkheid van Chebychev doet.

#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 maart 2014 - 22:34

Wat hebben die opdrachten dan te maken met de stof waar je mee bezig bent ...
Heb je een docent? Zo ja, stel je vragen!

In ieder geval is dit resultaat al bemoedigend. Welk stuk theorie heb je op internet gevonden? Geef de website ...






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures