Het berekenen van de straal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 04-03-'14, 11:53

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Het berekenen van de straal

Goedendag allemaal !

Voor mijn afstudeerproject heb ik de volgende vraagstelling voor jullie.

Ik heb een probleem waar ikzelf nu al meer dan een uur op aan het denken, schetsen en beredeneren ben maar niet tot een goed einde kan brengen ..

Het probleem is te zien in onderstaande afbeelding.
Schema cirkelberekening.jpg
Schema cirkelberekening.jpg (86.81 KiB) 1230 keer bekeken
Te zien is dat de booglengte van punt 1 naar 2 en van punt 2 naar 3 een afstand van 50 bedraagt

Te zien is dat de lengte van punt 1 naar punt 3 horizontaal 90 is, verdeeld over 2x een lengte van 45.

Afstand a is onbekend

Afstand b is onbekend

Straal R is onbekend

Nou wil ik graag de straal R berekenen, maar hier kom ik helaas niet uit met mijn eigen kennis en mogelijkheden ..

Misschien dat iemand mij hier de hulp kan bieden die ik nodig heb om verder te komen (:

Alvast bedankt !
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 12:22

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Het berekenen van de straal

Is er toevallig ook nog een hoek gekend?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 12:26

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Re: Het berekenen van de straal

Nee, dit zijn alle bekende gegevens .. vandaar ook het probleem ..

Wel dat de horizontale en verticale lijn onder een hoek van 90 graden staan zoals in de tekening is weergegeven.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 12:26

EvilBro

Berichten: 7.072

Re: Het berekenen van de straal

Ik bekijk alleen de helft van de cirkel. Het horizontale stukje noem ik K (45), het stuk op de cirkel noem ik L (50) en de hoek in de onderkant van de driehoek noem ik h. Voor K geldt:
\(K = R \cdot \sin(h)\)
Voor L geldt:
\(L = R \cdot h \rightarrow R = \frac{L}{h}\)
Dit is te combineren tot:
\(K = \frac{L}{h} \cdot \sin(h)\)
ofwel
\(\frac{K}{L} = \frac{\sin(h)}{h}\)
Ik denk niet dat dit analytisch oplosbaar is.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 12:33

Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Het berekenen van de straal

Ik had dezelfde (soort van) berekening gedaan en vreesde ook dat dit niet oplosbaar is... Je hebt dus een gegeven te kort om het op te lossen vrees ik.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 12:53

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Re: Het berekenen van de straal

Dan bevestigen jullie mijn vermoeden, bedankt (: als ik verder kom of een gegeven gevonden krijg laat ik het weten !

Mocht er iemand nog iets geniaals verzonnen krijgen dan is dat ook altijd welkom ;)
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 13:31

EvilBro

Berichten: 7.072

Re: Het berekenen van de straal

Je hebt dus een gegeven te kort om het op te lossen vrees ik.
Je hebt niet echt een gegeven tekort. Je hebt 1 onbekende en 1 vergelijking. De vorm is alleen niet goed (het lukt niet om dit om te schrijven naar 'h=...').
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 14:26

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Re: Het berekenen van de straal

Wanneer ik de formule invoer en daar 2 aparte grafieken van maak krijg ik het volgende resultaat ..
Wolfram_Alpha Widget_ Equation Calculator (1).JPG
Wolfram_Alpha Widget_ Equation Calculator (1).JPG (15.08 KiB) 1181 keer bekeken
Deze hoek is in radialen en geeft een uitkomst weer van 45 graden.

Wanneer ik deze hoek toepas om met de gegevens van EvilBro de lengte k te bepalen komt deze weer terug op 45, waaruit blijkt dat deze hoek klopt.

Nou is het probleem dat ik meer op zoek ben naar een formule om in Excel in te voeren #-o maar voor nu is dit alweer een stap in de richting

we blijven gewoon doorgaan en volhouden
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 14:47

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Het berekenen van de straal

Als je een grafiek maakt, wordt het probleem eigenlijk numeriek opgelost.

Je zou dus heel het probleem numeriek kunnen benaderen in excel.

Je berekend bijvoorbeeld 1000 punten waarbij je de hoek van 0 tot pi laat gaan (dus elk stapje pi/1000) en kijkt welke waarde ervan het dichts bij die constante functie ligt. Hoe je dit precies doet in excel weet ik niet, heb enkel ervaring met java en maple.

Analytisch lijkt me dit inderdaad niet makkelijk oplosbaar.

EDIT: het lijkt mij ook mogelijk om dit met taylor reeksen te benaderen, dit is wat korter.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 15:39

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Re: Het berekenen van de straal

Correct, die mogelijkheid heb ik ook bedacht om toe te passen aangezien het volledig oplossen via een analytische methode niet beschikbaar is ..

Ik ga de taylor reeksen nog proberen toe te passen, kijken of hier een goede mogelijkheid is .. Bedankt !
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 15:43

Flisk

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Het berekenen van de straal

Taylorreeksen werkt goed en is veel korter.

Ik heb het eens geprobeerd op dit voorbeeldje en kreeg als resultaat 0.7868 (heel dicht bij dat van de grafiek).

Werkwijze:

Je schrijft de Taylorreeks van sin(x) te.m. de 5 de graad rond het punt 0 (uiteindelijk heb je dus 3 termen). Dan deel je door x en stel je het resultaat gelijk aan die K/L. Dan doe je een substitutie x2=u. Nu heb je een makkelijk oplosbare vierkantsvergelijking i.f.v. u. Je zult 2 oplossingen voor u hebben. één ervan klopt niet. Uit de andere neem je de positieve vierkantswortel en je hebt je hoek.

Het lijkt alsof de kleinste u altijd de juiste is maar ben niet (helemaal) zeker, dit check je best dus altijd eens.

Merk ook op dat het resultaat de halve hoek is van in de tekening, EvilBro bekeek immers de helft van de cirkel.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 20:50

Het Knorrepotje

Gebruikersavatar
Berichten: 85

Re: Het berekenen van de straal

Even puur uit interesse van een 16 jarige:

Wat is "de taylorreeks"
Think like a proton, and stay positive.
Omhoog

Bericht 04-03-'14, 21:40

mathfreak

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.505

Re: Het berekenen van de straal

Het Knorrepotje schreef: ↑di 04 mar 2014, 20:50
Even puur uit interesse van een 16 jarige:

Wat is "de taylorreeks"
Zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Taylorreeks
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Omhoog

Bericht 05-03-'14, 07:40

Edwin van Eck

Gebruikersavatar
Berichten: 16

Re: Het berekenen van de straal

Zou iemand mogelijk een duidelijkere weergave kunnen geven voor hoe mijn som opgelost kan worden via de taylor reeks, ik heb hier nooit les in gehad en kom er zelf niet helemaal uit met de uitleg van Flisk .. Ik ben een werktuigbouwkundige en dus helaas niet opgeleid als wiskundige, dus vandaar :roll:

Wel ben ik een fan van rekenen en wil ik altijd nieuwe dingen leren (:
Omhoog

Bericht 05-03-'14, 08:54

EvilBro

Berichten: 7.072

Re: Het berekenen van de straal

Voor een sinus geldt:
\(\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2 k +1}}{(2 k + 1)!}\)
De termen van deze som worden steeds kleiner bij waarden |x|<1. We kunnen dus veronderstellen dat de de latere termen een verwaarloosbare invloed hebben. Stel dat:
\(\sin(x) \approx \sum_{k=0}^{2} (-1)^k \frac{x^{2 k +1}}{(2 k + 1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}\)
dan:
\(\frac{\sin(x)}{x} \approx 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!}\)
Je kunt nu dus zeggen:
\(1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} = \frac{45}{50}\)
\(\frac{5}{50} - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} = 0\)
Substitutie:
\(\frac{1}{10} - \frac{u}{3!} + \frac{u^2}{5!} = 0\)
Met de abc-formule kun je nu de waarde voor u vinden (en de wortel daarvan is x).
Omhoog
Reageer

Terug naar “Analyse en Calculus”