Springen naar inhoud

afleiden en integreren: intuitief aanvoelen van omgekeerde bewerking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2014 - 00:06

Als je een functie afleidt, en daarna de afgeleide weer integreert, krijg je - op een constante na - de oorspronkelijke functie. Dus afleiden en integreren zijn omgekeerde bewerkingen (ik hoop dat ik het zo juist stel, want ik twijfel een beetje tussen 'omgekeerd', 'tegengesteld', 'invers', en ik weet dat die benaming belangrijk is, maar goed).

Maar je kan ook zeggen:
"de afgeleide van een functie is die functie die de tangens van de hellingshoek van de raaklijn in elk punt van de oorspronkelijke functie voorstelt."

en:
"een integraal is de oppervlakte onder de curve."

Als je uitgaat van die 2 bovenstaande uitspraken, hoe kan je dan intuitief aanvoelen dat afleiden en integreren omgekeerde bewerkingen zijn ?

Of maak ik nu ergens een redeneringsfout ?
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Typhoner

    Typhoner


  • >1k berichten
  • 2446 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 maart 2014 - 08:34

de (bijna) inverse operatie van het afleiden is de onbepaalde integraal, terwijl de oppervlakte gegeven wordt door de bepaalde.
This is weird as hell. I approve.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 12 maart 2014 - 12:37

Zoals Tyhoner al aanduidt is integraal een begrip met meerdere betekenissen.
Dat kan aanleiding geven tot verwarring van begrippen (weet ik uit eigen ervaring).
Daarom is het een goede gewoonte te spreken van differentieren en primitiveren.
Als je een functie afleidt, en daarna de afgeleide weer primitiveert, krijg je - op een constante na - de oorspronkelijke functie.

"de afgeleide van een functie is die functie die de tangens van de hellingshoek van de raaklijn in elk punt van de oorspronkelijke functie voorstelt."

en:
"een integraal is de oppervlakte onder de curve."

"Raaklijn" en "Oppervlakte" zijn niet elkaars "omgekeerden". Er zit nog iets tussen, de functie zelf.
LaTeX

Veranderd door PeterPan, 12 maart 2014 - 12:38


#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 maart 2014 - 01:32

Dit is een heel belangrijk verband wil je integraalrekening grondig kennen. Dit verband wordt dan ook bewezen in de hoofdstelling van de integraalrekening. Op wiki staat er zelfs een bewijs dacht ik. Dat is natuurlijk een wiskundig bewijs en zonder de redenering erachter ben je er weinig mee (als je intuïtief wilt begrijpen).

Het wordt opeens heel veel duidelijker als je integraalrekening en afleiden doortrekt naar de fysica (bij mij heeft dit veel geholpen tot het begrijpen van deze leerstof). Ik zal morgen de redenering eens posten mocht je, of iemand anders, geïnteresseerd zijn. Heb nu wat weinig tijd.

Veranderd door Flisk, 13 maart 2014 - 01:34

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

dannypje

    dannypje


  • >250 berichten
  • 595 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 maart 2014 - 00:48

bedankt allen die reageerden. Die link naar de hoofdstelling onder andere maakte veel duidelijk.
In the beginning, there was nothing. Then he said:"Light". There was still nothing but you could see it a whole lot better now.

#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 maart 2014 - 19:12

Geen probleem. Mocht je nog geïnteresseerd zijn in de analogie met fysica, laat gerust iets weten. Bij mij heeft dit veel geholpen tot het intuïtief begrijpen van integralen en afgeleiden.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3102 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 april 2014 - 20:49

@Flisk: Ik ben wel eigenlijk benieuwd naar de link in de fysica die het voor jou een stuk duidelijker maakte. Kun je deze eens melden?


#8

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 mei 2014 - 01:31

Ik stel me bijvoorbeeld een fietser voor die een rechte weg aflegt met variabele snelheid. Je legt een grote meetlat in de richting van je weg. Een waarnemer met chronometer kan dus een x(t) grafiek construeren.

 

Nu is de waarnemer geïnteresseerd in de snelheid van de fietser op een bepaald moment. Die kan benaderd worden door een afstandsverschil te nemen en dit te delen door het bijhorende tijdsverschil. Dit is slechts een benadering want de snelheid is niet constant, maar hoe korter je afstandsverschil (en dus tijdsverschil) is, hoe beter de benadering. De snelheid heeft dan immers minder tijd om te veranderen. Wiskundig gezien is dit hetzelfde als de limiet nemen en dus krijg je de definitie van de afgeleide. Op die manier construeert de waarnemer een v(t) grafiek.

 

De waarnemer is vrij slordig en verliest zijn x(t) grafiek. Met behulp van de v(t) grafiek wilt hij die terug opstellen. Hij wilt dus weten na hoeveel tijd, welke afstand de fietser heeft afgelegd. Een eerste benadering krijgt men door de begin snelheid te vermenigvuldigen met het tijdsverschil. Opnieuw is dit slechts een benadering want de snelheid is niet constant. Een betere benadering wordt gemaakt door het probleem op te splitsen in twee stukken. De waarnemer vermenigvuldigt de beginsnelheid dus met de helft van de tijd en kijkt dan op zijn v(t) grafiek wat de huidige snelheid is. Deze gebruikt hij dan om de afgelegde weg in het tweede stuk te benaderen. Daarna telt hij beide gevonden afstanden op. Je kan zo blijven doorgaan en het probleem in meer stukken opdelen. Hoe meer stukken, hoe beter de benadering want de snelheid heeft dan minder tijd om te veranderen. Herken hierin de Riemann som. Wiskundig gezien neem je dan de limiet naar oneindig aantal stukken (of dus tijdsinterval dat nadert naar nul). Dan krijg je de definitie van de integraal.

 

Je hebt nu opnieuw een x(t) grafiek. Merk op dat er wel degelijk informatie is verloren gegaan door de waarnemer zijn slordigheid. Hij heeft immers geen idee wat de beginpositie van de fietser was. Wiskundig gezien is dit de integratieconstante.

Veranderd door Flisk, 06 mei 2014 - 01:35

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures