Springen naar inhoud

Directe somruimten: bewijs


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nicky19

    Nicky19


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 maart 2014 - 11:36

Hallo iedereen,

Stel dat je in U 3 deelruimten hebt (V1,V2 en V3) en

indien je een directe som hebt van v1 + v2 en
een directe som van v1 +v3,

dan kan je zeggen dat V2=V3

Maar hoe kan deze stelling bewijzen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2462 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 maart 2014 - 19:27

Kijk eens of je er uit komt door van de definitie van een directe som uit te gaan. Hint: als U en V de directe som W hebben, waarbij u in U, v in V en w in W zit, hoe wordt W dan via u en v gedefinieerd?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#3

Nicky19

    Nicky19


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 maart 2014 - 12:15

Kijk eens of je er uit komt door van de definitie van een directe som uit te gaan. Hint: als U en V de directe som W hebben, waarbij u in U, v in V en w in W zit, hoe wordt W dan via u en v gedefinieerd?


W wordt gedefineerd door alle unieke sommen van de v'tjes en de u'tjes, maw:
W = v1+u1, v1+u2,v1+u3...
v2+u1, v2+u3, v3+u3...,
v3+u1...

En in een directe som is de doorsnede de nulvector, maar ik zie de link niet :s

#4

Lewis95

    Lewis95


  • >25 berichten
  • 44 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 mei 2014 - 15:52

Dit is hoe ik het bewijs dacht op te lossen maar ik ben er totaal niet zeker van! Neem het dus zeker niet over alvorens andere mensen dit bewijs ofwel goedkeuren, ofwel verbeteren! Ik was immers ook op zoek naar het bewijs van deze stelling, maar ik heb ook de oplossing niet gevonden!

 

LaTeX

LaTeX

Wegens de definitie van de directe som kunnen we stellen dat volgende stellingen gelden:

LaTeX

en

LaTeX

We kunnen W dus als volgt voorstellen:

LaTeX

en tegelijk LaTeX

 

veronderstel nu het volgende:

LaTeX

kies nu  LaTeX

%opmerking: omwille van de tweede stelling zit 0 ook telkens in deze verzamelingen!

Wanneer we dan W berekenen als volgt:

LaTeX

krijgen we:

LaTeX

En deze W's zijn dus niet gelijk, wat wel zou moeten gezien de gelijkheid tussen LaTeX

We vonden dus een eenvoudig tegenvoorbeeld van de ontkenning van de stelling, waardoor we kunnen zeggen dat de stelling correct is.

Veranderd door Lewis95, 30 mei 2014 - 16:02


#5

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 mei 2014 - 17:50

Dat bewijs klopt niet. Je redeneert verkeerd. De stelling die je wilt bewijzen gaat als volgt:

LaTeX

 

De negatie (of dus ontkenning) van de stelling is dan:

LaTeX

 

Het geven van één tegenvoorbeeld van een negatie van een stelling niet voldoende, ik geef een voorbeeldje:

Stelling:

Alle bananen zijn krom

Negatie van stelling:

Er bestaat een banaan die niet krom is.

Jouw redenering:

Ik heb hier één kromme banaan, dat is een tegenvoorbeeld van de negatie van de stelling, de stelling is dus waar.

 

Je ziet dat deze redenering niet klopt, je hebt nu gewoon aangetoond dat er één banaan krom is, niet dat ze allemaal krom zijn.

 

Nu terug naar het oorspronkelijk probleem, die stelling die je wilt bewijzen is trouwens vals (de ontkenning is dus waar). We kijken dus eens naar de ontkenning:

LaTeX

Hint, neem bijvoorbeeld als W het vlak. Zoek dan twee deelverzamelingen waarvan de directe som gelijk is aan het vlak. Zoek dan nog een derde die niet gelijk is aan de tweede en merk op dat de directe som van de derde en de eerste ook gelijk is aan het vlak.

 

Mocht je er niet uit geraken:

Verborgen inhoud

Neem nu:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

W is dus het vlak, U1 stelt de x-as voor, U2 stelt de y-as voor en U3 stelt de rechte y=x voor. Merk op dat (als je dit niet direct inziet, leg ik het wel uit): 
LaTeX

en dat U2 niet gelijk is aan U3. De negatie van de stelling is dus waar en de oorspronkelijke stelling vals.

Veranderd door Flisk, 30 mei 2014 - 18:20

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures