Springen naar inhoud

Rijrang, kolomrang & nulliteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jackinthebox

    jackinthebox


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 maart 2014 - 00:19

Hallo,

In de cursus Lineaire Algebra gaat het nu over vectorruimtes geassocieerd met matrices. Er is iets dat ik niet snap en dat is het volgende:

De rijrang (de dimensie van de rijruimte) = het aantal niet-nulrijen in de rijgereduceerde matrix of aan het aantal leidende énen in deze matix.

De dimensie van de nulruimte = het aantal vrije variabelen van het stelsel UX=0 (met U = de rijgereduceerde vorm, vermoed ik)

Kan iemand mij dit eens uitleggen? Ik zit nogal in de knoop met dit vak en kan niet echt het verband zien tussen begrippen zoals "vectorruimte", "dimensie", ... en matrices.

Alvast heel erg bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 maart 2014 - 15:00

Ik neem aan dat je weet wat lineair onafhankelijk en het begrip vector betekent, indien dit niet zo is, laat gerust iets weten en ik leg het uit. Je stelt heel wat vragen in één keer dus sorry dat het zo'n grote tekst is.

Een vectorruimte is een verzameling vectoren. Een deelruimte daarvan is een deelverzameling. Meestal worden er in zo'n ruimte bepaalde bewerkingen gedefinieerd (zoals optelling van vectoren, vermenigvuldiging met getallen...)
De dimensie van een (deel)ruimte is het aantal lineair onafhankelijke vectoren dat men kan vinden in die (deel)ruimte.
De kolomrang is gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke kolommen en de rijrang is gelijk aan het aantal lineair onafhankelijke rijen in de matrix. Deze twee zijn altijd gelijk (normaal staat er wel een bewijs van in je boek) en men noemt het dus ook gewoon de rang van een matrix.

Bij algebra kan het al heel snel heel abstract worden, daarom dat ik het zal uitleggen a.d.h.v. een voorbeeldje:
Neem volgende matrix:
LaTeX
Wat stelt deze matrix nu voor? We kunnen hem zien als een afbeelding (in dit geval zelfs een functie) in het vlak. Je neemt dus een punt in je vlak en beeldt het af op een ander punt. Je doet dit door je argument (je willekeurig gekozen punt (x,y)) rechts te vermenigvuldigen met de matrix (je afbeelding). Je resultaat is het beeld (staat in het rechterlid):
LaTeX

Kijk nu eens naar wat die afbeelding doet: je neemt het punt (x,y) in je vlak en beeld het af op het punt (x,2x). Als je naar dit laatste kijkt kun je zeggen dat y=2x. Dit zal je wel herkennen, het is een rechte! Je kan nu die rechte (het beeld) zien als een deelruimte van je vlak. De dimensie van de rechte is dan gelijk aan 1. Neem immers één vector op deze rechte, en al de andere zijn lineair afhankelijk (je kan dus elk punt bereiken door je vector te vermenigvuldigen met een bepaald getal). We zien ook dat de rang van onze matrix (de afbeelding) alsook gelijk is aan 1 (dit is trouwens geen toeval).

I.v.m. de nulruimte en nulliteit:
Bekijk nu eens de punten (0,y), met y willekeurig gekozen. Dit stelt ook een rechte voor in het vlak (met vergelijking x=0). Als je de afbeelding hier op in laat werken, zie je dat je altijd (0,0) als resultaat krijgt (probeer maar eens met bvb (0,3) en (0,-14). Daarom noem je dit de nulruimte van je afbeelding. De nulliteit is de dimensie van van deze nieuwe deelruimte. Het is een rechte dus de nulliteit is gelijk aan 1.

Merk op dat de nulliteit+rang=2=dimensie van het vlak. Dit vind je in je boek waarschijnlijk bij de dimensie stelling.

Deze tekening hoort bij dit voorbeeldje:
linalg.jpg
De rode lijn is het beeld, de blauwe lijn is de kern. De groene lijn heb ik erbij gezet zodat je een idee krijgt wat de matrix nu eigenlijk doet. Je kan aan de pijltjes zien hoe elk punt wordt afgebeeld op het beeld. Je ziet dat er telkens een volledige rechte wordt afbeeld op slechts één punt. De afbeelding is een surjectie, je kan de nulliteit zien als een soort van maat van 'verloren dimensie'. Je gaat immers van een vlak naar een rechte, en verliest hierbij 1 dimensie.

Veranderd door Flisk, 18 maart 2014 - 15:17

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

jackinthebox

    jackinthebox


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2014 - 11:30

Alvast heel erg bedankt voor de rijkelijke uitleg!

Ik zal deze eerst even goed doornemen en zal iets laten weten als ik er vragen bij heb!

#4

jackinthebox

    jackinthebox


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2014 - 12:57

Beste,

Je uitleg is duidelijk!

Alleen snap ik nu nog altijd niet hoe je de rijrang (het aantal lineair onafhankelijke rijen in de matrix) linkt aan het aantal niet-nulrijen / leidende énen in de rref-matrix en hoe de nulliteit gelijk is aan het aantal vrije variabelen van de rref-matrix. Of zou ik dit moeten kunnen afleiden uit jouw uitleg?

Alvast heel erg bedankt!

#5

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 19 maart 2014 - 16:01

Ik merk nu (nadat ik dit geschreven had) dat de termen 'lineair onafhankelijk vectoren' en 'vrije vectoren', dezelfde zijn. Van die laatste had ik nog nooit gehoord. Dat terzijde:

De definitie die ik gaf was: de rijrang is het aantal lineair onafhankelijke rijen in je matrix. Dit komt perfect overeen met diegene die jij geeft. Om je row reduced echelon form te verkrijgen, moet je elementaire rijoperaties toepassen. Dus je vermenigvuldigt bijvoorbeeld een rij met een (niet 0) getal en telt die daarna op met een andere etc... Als we door zulke operaties een nulrij kunnen krijgen, is deze lineair afhankelijk van de andere rijen (kijk eens naar de definitie van lineair onafhankelijke/vrije vectoren). Dus al de rijen die overblijven (niet nulrijen) zijn lineair onafhankelijk. Als er meer uitleg nodig is, vraag gerust.

Dat van die nulliteit moet ik nog eens bekijken. Lineaire algebra zit er niet meer zo goed in.

Veranderd door Flisk, 19 maart 2014 - 16:03

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#6

jackinthebox

    jackinthebox


  • 0 - 25 berichten
  • 25 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2014 - 18:10

Ah inderdaad, op die manier, zo had ik het nog niet bekeken ;)

Op dit moment heb ik geen vragen meer. Morgen opnieuw hoorcollege, hopelijk snap ik het wat beter nu!

Bedankt!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures