Relativiteitsvraag

Daniel

Hallo iedereen, ik heb de volgende pagina een beetje zitten bestuderen:

http://kwantummechanica.doorgronden.nl/ ... iteit.html

Een "simpele" uitleg van de relativiteitstheorie. Voor de ene waarnemer bereikt de lichtstraal de achterkant van de coupe eerder dan voor de andere waarnemer. Maar hoe kan het dat als de lichtstraal voor de ene waarnemer al de achterkant heeft bereikt dat die lichtstraal voor de andere waarnemer nog de achterkant moet bereiken? Dat is dus wat ik niet snap. Ja oke, tijd is relatief en de ene waarnemer ziet de tijd van de ander langzaam gaan maar hoe kan het dan dat op het ene moment de lichtstraal de coupe bereikt en even later weer, dan zouden er twee lichtstralen moeten zijn. Dat is dus het gene dat tegen mijn intuïtie ingaat. Geldt het feit dat de lichtstraal later aankomt voor de ene waarnemer alleen als ze ten opzichte van elkaar bewegen?

Kan iemand mij dit uitleggen. Nu heb ik nog een vraag: deze theorie geldt toch niet alleen voor licht? Volgens mij beweert het artikel dat met tennisballen de waarnemers wel allebei tegelijk de ballen zien weerkaatsen tegen de achterkant van de coupe. Of is dit omdat het verschil zo klein is (de snelheid)?

Bedankt voor het antwoorden. Met vriendelijke groeten

Daniel

EvilBro

... maar hoe kan het dan dat op het ene moment de lichtstraal de coupe bereikt en even later weer

Dit gebeurt niet. Er is slechts 1 universum dat op meerdere manieren wordt 'bekeken'. In elk van de referentiestelsels bereikt de lichtstraal de coupe maar 1 keer. De beide referentiestelsels zijn het echter niet eens over waar en wanneer dat dan is.

Michel Uphoff

De kern van de speciale relativiteitstheorie is dat de lichtsnelheid absoluut is.

Wat houdt dat nu in?

Stel je staat op een rijdende kar, die bijvoorbeeld 10 km/uur gaat. Je gooit een steen, ook met 10 km/uur naar voren, in de rijrichting. Voor jou vliegt de steen met 10 km/uur van je af en iemand op straat ziet de steen met 10+10=20 km/uur in de rijrichting vliegen. Dat is voor iedereen duidelijk, simpel optellen van snelheden.

Maar dat gaat niet op voor licht. Als we licht vanaf een rijdende kar naar voren sturen is de gemeten snelheid van het licht voor iemand op de kar naar voren gelijk aan 300.000 km/s (die snelheid noemen we c). Maar ook voor de persoon op straat gaat het licht met c naar voren'. Hij telt dus de snelheid van de kar en die van het licht niet bij elkaar op.

De lichtsnelheid is absoluut en onafhankelijk van de snelheid van de bron die het licht uitzendt en ook onafhankelijk van de snelheid van de waarnemer tov de bron. Altijd wordt c gemeten.

Waarom de snelheid van het licht absoluut is gaan we hier en nu niet in twijfel trekken, we nemen het voor waar aan. We 'postuleren' het zoals Einstein deed, en het heeft dan vérgaande gevolgen. Een voorbeeld:

: voorbeeld.jpg (35.39 KiB) 795 keer bekeken

Bovenste plaatje: Midden in een trein staat een lichtbron die lichtpakketjes (fotonen) uitzendt. Dat gebeurt dus met de absolute snelheid c. Omdat de bron midden in de trein staat zullen de fotonen de voor en achterkant van de trein tegelijk raken. Als er aan voor- en achterzijde van de trein een klok staat die stopt zodra de fotonen de klok raken zullen beide klokken dezelfde stoptijd aangeven (aangenomen dat ze perfect gelijk liepen).

Nu gaat de trein rijden, en kijken we wat de reiziger in de trein waarneemt. Ook dan zullen de fotonen beide klokken tegelijk raken, en staan ze op dezelfde stand stil. Niet bijzonders dus, want had de reiziger twee gelijke pistolen tegelijk naar voren en achteren afgevuurd, dan zouden de kogels de klokken ook tegelijk raken (kan je dit zelf nagaan?).

Middelste plaatje: We weten nu dat voor iemand in de trein beide klokken op dezelfde stand stil staan, zowel bij fotonen als bij pistoolkogels. Maar bij licht wordt het een vreemd verhaal. De lichtsnelheid is immers absoluut, dus onafhankelijk van de snelheid van de bron of de waarnemer.

Dat betekent, dat ook iemand op het perron die fotonen met c (en dus niet met c + treinsnelheid zoals bij pistoolkogels) naar rechts ziet gaan, en met c (en dus niet met c - treinsnelheid) naar links ziet gaan

Hoe snel het licht ook gaat, die fotonen zijn een korte tijd onderweg naar de voor- en achterkant van de trein. En in die korte tijd verplaatst de trein zich voor iemand op het perron naar rechts. Dat moet dus tot gevolg hebben dat voor de persoon op het perron de fotonen de naar hun toesnellende achterkant eerder bereiken dan de van hun afsnellende voorkant.

De blauwe cirkeltjes stellen de fotonen voor, en het foton links heeft de achterkant al geraakt. De klok links stopt, terwijl het foton rechts nog onderweg is naar de van het foton wegrijdende voorkant, die klok loopt dus nog.

Onderste plaatje: De trein is wat verder naar rechts gereden, en nu komt voor iemand op het perron het foton pas bij de voorkant aan, en stopt de voorste klok. De rechter klok stopt dus na de linker klok.

De reiziger en de persoon van het perron constateren samen als de trein gestopt is, dat beide klokken dezelfde wijzerstand hebben. De feitelijke gebeurtenissen zijn voor beide personen gelijk. Maar over de volgorde waarop ze plaatsvonden zullen de reiziger (tegelijk) en de persoon op het perron (na elkaar) het eeuwig oneens blijven.

Maar hoe kan het nu zijn dat de linker klok voor de persoon op het perron eerder stopt dan de rechter, terwijl ze wel op dezelfde eindstand gestopt zijn. Ze weten zeker dat de klokken voor de trein ging rijden exact gelijk liepen. Het enige antwoord dat mogelijk is, is dat dan voor de persoon op het perron de klok links sneller moet hebben gelopen dan de klok rechts. En omdat hij ook eerder stopte is de wijzerstand uiteindelijk hetzelfde als bij de rechterklok.

En dat is precies wat de speciale relativiteit ons leert, tijd is relatief en afhankelijk van de snelheid van de waarnemer tov waargenomen objecten. Tijd en gelijktijdigheid moeten relatief zijn omdat de lichtsnelheid absoluut is.

We kunnen dus stellen dat de het al dan niet gelijktijdig zijn van gebeurtenissen en de snelheid waarmee de tijd verstrijkt afhangt vanuit welk referentiestelsel (trein of perron) je de meting doet. Wat ook duidelijk is, is dat feitelijke gebeurtenissen niet afhankelijk zijn van een referentiestelsel (de klokken staan immers voor beiden in dezelfde stand stil).

Natuurlijk merken wij hier in het dagelijkse leven niets van, het licht gaat zo ontzettend snel, dat die minder dan een miljoenste van een seconde echt niet opvalt. Maar als de snelheden heel groot worden dan gaat het aantikken. Het fenomeen dat een klok trager loopt als ze door iemand gelezen worden die een snelheidsverschil tov die klok heeft, noemen we tijddilatatie.

Met een eenvoudige formule kan je uitrekenen dat als de snelheid tussen klok en waarnemer 240.000 km/s is (0,6c dus) die klok merkbaar langzamer lijkt te lopen voor de waarnemer, de klok zal iedere 1,25 seconde bij de waarnemer slechts een seconde vooruit gaan. Bij een snelheidsverschil van 0,866c loopt de klok al 2 keer zo langzaam als die van de waarnemer, en bij vrijwel c staat ze vrijwel stil. (c kan nooit bereikt worden).

Samenvattend:

de persoon in de trein neemt niets bijzonders waar. Beide klokken stoppen voor hem tegelijk, en bij dezelfde stand van de wijzers.
De persoon op het perron ziet de linker klok eerder stoppen dan de rechter klok.
beiden hebben ze - vanuit hun verschillende referentiestelsels - gelijk.
Hieruit volgt dus dat gelijktijdigheid relatief is en afhankelijk van de beweging tussen waarnemer en het object. Wat voor iemand in de trein gelijktijdig is, is voor iemand op het perron duidelijk niet gelijktijdig (en andersom is dat ook het geval).
relativiteit heeft geen invloed op feitelijke gebeurtenissen (gelijke stand van de wijzers)
een tov de waarnemer bewegende klok zal trager lopen (tijddilatatie)

Is het zo duidelijker?

Daniel

Ja het is nu al veel duidelijker bedankt! Ik heb alleen nog wel twee vragen; geldt de relativiteitstheorie alleen voor licht? Hier bedoel ik mee; is licht het enige verschijnsel (materie/energie) dat onafhankelijk is van de snelheid van iets anders (zoals die pistoolkogels die je noemde die wel afhankelijk zijn van de bijvoorbeeld bewegende kar) en komt dit dan omdat niks sneller kan dan het licht (en licht dus onafhankelijk is omdat men er geen andere snelheden bij op kan tellen)? En m'n tweede vraag; ontstaat het fenomeen (kort gezegt illusie) die wordt beschreven in de theorie, dat de lichtstralen wel tegelijk de klokken raken, maar dat dit anders is voor verschillende waarnemers doordat de ogen van de persoon op ht perron het licht dat de voorkant raakt pas later waarnemen? Bedankt, groeten Daniel

Michel Uphoff

geldt de relativiteitstheorie alleen voor licht?

Die geldt voor alles, zelfs voor die kogels. Maar de snelheid van kogels en raketten is - vergeleken met die van licht - zo vreselijk laag dat je de relativistische effecten niet merkt.

Wat alleen voor 'licht' geldt is die absolute snelheid. Licht is eigenlijk elektromagnetische straling, zichtbaar licht is daar een klein onderdeel van; ook radiogolven, radar, en röntgenstraling en gammastraling zijn onderdelen van deze straling.

Alles dat massa heeft kan de lichtsnelheid niet bereiken, dat is ook een van de uitkomsten van de speciale relativiteitstheorie. Fotonen (pakketjes licht) hebben echter geen massa en kunnen (moeten) dus de lichtsnelheid hebben.

ontstaat het fenomeen (kort gezegt illusie) die wordt beschreven in de theorie, dat de lichtstralen wel tegelijk de klokken raken

Het is geen illusie, het is zo echt als het maar zijn kan. Die fotonen raken de klokken tegelijk én niet tegelijk en wat 'waar' is is helemaal afhankelijk van de waarnemer. Beide waarnemers hebben volstrekt gelijk. Gelijktijdigheid is relatief.

Daniel

Oke het antwoord op mijn eerste vraag snap ik, bedankt. Maar ik bedoel; fotonen hebben toch nooit bedacht 'oh, er zijn verschillende waarnemers dus we zijn relatief.' Als er geen waarnemers zouden zijn zou er toch maar op 1 manier die gebeurtenis plaats vinden. Maar uit de reacties hierboven kan ik opmaken dat de fotonen altijd tegelijk de klokken aanraken zoals bij pistpolkogels maar ik kan er met m'n verstand niet bij hoe een andere waarnemer die ene gebeurtenis dan toch anders ziet, ik snap heel de theorie en de uitleg maar ik snap gewoon niet dat iemand buiten het bewegende object iets anders ziet dan degene in het object,

Groeten, daniel

VDammer

Daniel,

Vermoedelijk helpt het om even mijn post #20 en #21 te lezen hier: http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/188037-trein-experiment/page__st__15__gopid__991064#entry991064

EvilBro

Als er geen waarnemers zouden zijn zou er toch maar op 1 manier die gebeurtenis plaats vinden.

De gebeurtenissen gebeuren ook maar op 1 manier. Het beschrijven van die ene manier kan vanuit verschillende referentiestelsels.De beschrijvingen zijn niet exact hetzelfde maar wel fundamenteel hetzelfde.

Bekijk het als volgt: stel dat ik een bijzondere afwijking heb en wat jij groen noemt, noem ik blauw en andersom. We zien een auto voorbij rijden. Ik noem het een groene auto. Jij noemt het een blauwe auto. We beschrijven beide exact dezelfde auto. We beschrijven beide zeer nauwkeurig de kleur van de auto. Iemand die weet wie van ons iets gezegd heeft, kan uniek bepalen welke kleur de auto heeft. Toch komen we er onderling niet uit of de auto groen of blauw is (omdat we het niet eens zijn over wat groen is en wat blauw is). Dit verandert echter niks aan de kleur van de auto.

Bij relativiteit is iets soortgelijks aan de hand. Alleen zijn we het dan niet oneens over de kleur, maar over de plek en het tijdstip van gebeurtenissen.

Misschien helpt het om het zo te zien: er is 1 universum. Dit universum zie je echter nooit direct. Je ziet het altijd door een bepaalde bril. Als je wisselt van bril lijkt het universum opeens anders, maar het is nog steeds hetzelfde universum.

Maar uit de reacties hierboven kan ik opmaken dat de fotonen altijd tegelijk de klokken aanraken

'tegelijk' is geen eigenschap van het universum. Het is slechts waar in 1 specifiek referentiestelsel.

VDammer

Michel Uphoff schreef: ↑wo 19 mar 2014, 00:07
Maar hoe kan het nu zijn dat de linker klok voor de persoon op het perron eerder stopt dan de rechter, terwijl ze wel op dezelfde eindstand gestopt zijn. Ze weten zeker dat de klokken voor de trein ging rijden exact gelijk liepen. Het enige antwoord dat mogelijk is, is dat dan voor de persoon op het perron de klok links sneller moet hebben gelopen dan de klok rechts. En omdat hij ook eerder stopte is de wijzerstand uiteindelijk hetzelfde als bij de rechterklok.

Let op wat je bedoelt met 'sneller lopen'. De linkse klok tikt voor de man op het perron niet sneller dan de rechtse klok, in de volgende betekenis: als op de klok van de man op het perron 1 seconde tikt, dan zal bijvoorbeeld op ALLE klokken van de trein 1,5 seconde vorbijtikken. Voor de persoon op het perron tikken alle klokken in de trein even snel, maar ze geven wel allemaal een andere waarde aan omdat voor de man op het perron ze -wanneer de lichtstralen vertrekken in het midden van de trein- reeds een ANDERE waarde aangeven! Relativiteit van gelijktijdigheid. Dit is omdat de 3D ruimte/wereld van de man op het perron een andere richting doorheen het 4D ruimte tijd snijdt. Kijk even naar de diagrammen waarnaar ik verwijs in mijn vorige post.

Michel Uphoff

Of deze en de vele andere finesses van de relativiteit de vraagsteller helpen bij een eerste inzicht, betwijfel ik.

VDammer

Michel Uphoff schreef: ↑vr 21 mar 2014, 14:08
Of deze en de vele andere finesses van de relativiteit de vraagsteller helpen bij een eerste inzicht, betwijfel ik.

U vindt dit enkel finesse?

Ze zijn essentieel. Want daar gaat de relativiteit in essentie over.

Daniel

Bedankt voor de reacties, ik heb helaas niet al te veel tijd maar ik ga zeker proberen dit weekend alle reacties rustig door te lezen en het zo goed mogelijk te begrijpen en hopelijk snap ik het dan. Nogmaals bedankt dat jullie mij allemaal proberen te helpen. Groeten Daniel

VDammer

Daniel,

Fijn dat je het echt probeert te begrijpen. Het is eigenlijk niet moeilijk, maar om de essentie te begrijpen moet je wel een mindsprong maken die niet zo makkelijk is.

Je moet vooral niet blijven vastzitten in één enkele 3D ruimte/wereld (gelijktijdige gebeurtenissen) die voor iedereen dezelfde is. Het is soms omslachtig om het in woorden neer te pennen, duizenden hebben het reeds geprobeerd, en na tientallen jaren blijft het ook voor mij een hele opgave.

Je moet de essentie van de 'relativitiet van de gelijktijdigheid' begrijpen.

Je moet tot inzicht komen dat als op het moment dat de stralen in het midden van de trein vertrekken voor de treinreiziger de wijzer van de klok vooraan en achteraan naar hetzelfde cijfer aanwijzen, dan wijzen voor de man op het perron de klokken andere cijfers aan! Dit is de relativiteit van de gelijktijdigheid. De twee gebeurtenissen die voor de treinreiziger gelijktijdig gebeuren (m.a.w. beide gebeuren tijdens één stand van de wijzer van de klok van de treinreiziger) dan gebeuren die voor de man op het perron niet gelijktijdig (m.a.w. de ene gebeurtenis gebeurt gelijktijdig met een bepaalde stand van de van de klok van de man op het perron, en de andere gebeurtenis gebeurt wat later, als de wijzer van de klok van de man op het perron wat verder getikt heeft.)

Dit heeft niets met optische illusie te maken, maar wel met het feit dat wat er 'nu' ruimtelijk gebeurt niet voor iedereen identiek is!

Als de trein voorbijrijdt, en de treinreziger voorbij de man op het perron komt, starten voor beide personen de beide lichtstralen, starten voor de treinreiziger beide klokken, maar voor man op het perron zal bij de start van de lichtstralen de wijzer van de klok achteraan in de trein REEDS een tijdje geleden eerder beginnen tikken hebben en dus 'nu' een hoger getal aanduiden! (Dit als de treinreziger - en dus niet de man op het perron- de beide klokken zo heeft afgesteld dat deze tijdens het tikken voor hem steeds gelijke cijfers aangeven.)

Veronderstel nu even dat beide klokken niet tikken, en beide klokken volgens de treinreiziger pas beginnen te tikken als beide lichtstralen vertrekken in het midden van de trein.

Als we overeen komen dat volgens de treinreiziger de beide klokken beginnen te tikken als hij (de treinreiziger) voorbij de man op het perron komt, dan begint voor de man op het perron geen van beide klokken te tikken! Voor de man op het perron heeft op dat moment (start van lichtstralen) de klok achteraan reeds in het verleden beginnen tikken (en duidt dus een getal hoger dan 0 aan op de klok), maar de voorste klok is nog niet beginnen te tikken (en staat dus nog steeds op 0l)! (zie bijgevoegde schets)

Het feit dat de achterste klok een hogere waarde aanduidt dan de voorste klok heeft niets, maar dan ook helemaal niets te maken met het feit dat de achterste klok zou sneller tikken. Dit is gewoonweg FOUT. De beide klokken zullen t.o.v. de man op het perron even snel tikken, maar aangezien voor de man op het perron de klok vooraan in de trein later start dan de klok achteraan in de trein, zal de wijzer van de klok vooraan in de trein een kleiner cijfer aanduiden. (Waarom poster Michel Uphoff (in een bericht hierboven) dit een te verwaarlozen 'finesse' noemt is mijn een raadsel, want het is de kern van de relativiteitstheorie!)

De lichtstraal richting voorste klok zal meer tijd krijgen om de klok te bereiken. Voor de man op het perron zal eerst de lichtstraal bij de klok achteraan in de trein aankomen, en pas later zal de andere lichtstraal de klok achteraan in de trein bereiken. Om die reden zullen ook voor de man op het perron de beide lichtstralen respectievelijk aankomen bij de klokken waarvan de wijzers hetzelfde cijfer aanduiden.

Dit is allemaal mooi visueel in ruimte-tijd diagrammen weer te geven -zie links in een vorige post)- maar ik begrijp dat niet iedereen deze kan 'lezen'. Ze zijn mijns inziens echter onmisbaar om de relativitietstheorie vlot te begriipen

Omdat beide personen een verschillende mening hebben op welke gebeurtenissen 'nu' bestaan, en aangezien beide -maar verschilende- 'nu' 3D ruimtes (verzameling gelijktijdige gebeurtenissen) fysisch gelijkwaardig zijn, besluit Einstein dat die gebeurtenissen allemaal 'bestaan', zij het in een 4-dimensioneel geheel: ruimte tijd.

Ik hoop dat je een beetje engels kan lezen want ik geef nu een paar Einstein quotes:

<< From a "happening" in three-dimensional space, physics becomes, as it were, an "existence" in the four-dimensional "world". >> Albert Einstein. "Relativity: The Special and the General Theory." 1916. Appendix II Minkowski's Four-Dimensional Space ("World") (supplementary to section 17 - last section of part 1 - Minkowski's Four-Dimensional Space).

<< Since there exists in this four dimensional structure [space-time] no longer any sections which represent "now" objectively, the concepts of happening and becoming are indeed not completely suspended, but yet complicated. It appears therefore more natural to think of physical reality as a four dimensional existence, instead of, as hitherto, the evolution of a three dimensional existence. >> Albert Einstein, "Relativity", 1952.

<< For us convinced physicists, the distinction between past, present, and future is only a stubbornly persistent illusion.>> (March 21, 1955. Einstein Archives 7-245)

Andere quotes die wijzen op Einsteins visie op 4D realiteit.

Einsteins assistent Banesh Hoffman:

<< In spacetime, past, present, and future are all spread out before us, motionless like the words of a book. >> J.Neffe, Einstein, a biography. p. 147.

Karl Popper i.v.m. zijn ontmoeting met Einstein:

<< The main topic of our conversation was indeterminism. I tried to persuade him to give up his determinism, which amounted to the view that the world was a four-dimensional Parmenidean block universe in which change was a human illusion, or very nearly so. (He agreed that this had been his view, and while discussing it I called him "Parmenides".)... >> Karl Popper, Unended Quest: An Intellectual Autobiography.Routledge Classics. Routledge. pp.148–150.

: tr- twee werelden.jpg (183.82 KiB) 783 keer bekeken

Michel Uphoff

(Waarom poster Michel Uphoff (in een bericht hierboven) dit een te verwaarlozen 'finesse' noemt is mijn een raadsel.

Mij ook, want dat heb ik zo niet gesteld. Waar ik op doelde, is dat we hier te maken hebben met een vraagsteller die moeite heeft zich de eerste beginselen van de relativiteit eigen te maken. Met finesses doelde ik op delen van de stof die pas begrepen kunnen worden als de vraagsteller zich verder verdiept heeft. Nergens heb ik die te verwaarlozen genoemd, want dat zijn ze niet. Maar ik ben wel van mening dat je de vele aspecten (waarvan in mijn voorbeeld er nog veel meer achterwege gelaten zijn) niet allemaal tegelijk kan opdienen, omdat dat voor een eerste inzicht niet direct nodig is, en het dan al snel te ingewikkeld en verwarrend wordt.

VDammer

Michel Uphoff schreef: ↑za 22 mar 2014, 19:21
Mij ook, want dat heb ik zo niet gesteld. Waar ik op doelde, is dat we hier te maken hebben met een vraagsteller die moeite heeft zich de eerste beginselen van de relativiteit eigen te maken. Met finesses doelde ik op delen van de stof die pas begrepen kunnen worden als de vraagsteller zich verder verdiept heeft. Nergens heb ik die te verwaarlozen genoemd, want dat zijn ze niet. Maar ik ben wel van mening dat je de vele aspecten (waarvan in mijn voorbeeld er nog veel meer achterwege gelaten zijn) niet allemaal tegelijk kan opdienen, omdat dat voor een eerste inzicht niet direct nodig is, en het dan al snel te ingewikkeld en verwarrend wordt.

Zo zag ik het echt niet.

In #9 wijs ik op het feit dat u meldt dat de linkse klok sneller loopt. Een beginner kan dit verkeerd interpreteren en daarom achtte ik het noodzakelijk om te verduidelijken wat er zich precies afspeelt. Zonder die uitleg geraakt een beginneling nergens. Want een beginneling aan wie je niets vertelt over de 'relativiteit van de gelijktijdigheid' denkt dat ook voor de man op het perron de beide klokken gelijke waarden tonen op het moment dat de beide lichtstralen vertrekken (in het geval dat de treinreiziger beide klokken heeft gesynchroniseerd).En zo geraakt hij nergens. Erger, hij zou kunnen denken dat het allemaal een optish effect zou kunnnen zijn. Ik heb er voldoende ervaring mee hoe beginnelingen hardnekkig aan dit waanbeeld blijven vasthangen. (En niet alleen beginnelingen trouwens... )

Dit allemaal in acht genomen vond ik uw 'finesse' opmerking dus wel eigenaardig. Beschouw het niet als kritiek. Ik bedoelde mijn reactie als extra verduidelijking opdat een alerte beginneling het mogelijk noodzakelijk vindt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Relativiteitsvraag

Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag

Re: Relativiteitsvraag