Dimensie berekenen met een parameter

jackinthebox

Hallo,

Voor Lineaire Algebra kregen we een oefening waar ik maar niet uit geraak:

Gegeven zijn 2 deelruimten van (R, R^4, +):

U = vct{ (2, 3, 2-a, -1), (1, 2, -1, 4+a) }

V = vct { (a+6, 12, -1, 13) }

Bereken voor elke waarde van a, de dimensie van U & V.

Hoe moet je hieraan beginnen?

Flisk

Zoek alle waarden voor a waarbij die twee vectoren van U lineair afhankelijk zijn. Wat weet je als ze lineair afhankelijk zijn? Alle andere waarden zorgen dan voor twee lineair onafhankelijke vectoren. Wat weet je over de dimensie als een ruimte word opgespannen door een aantal lineair onafhankelijke vectoren?

Voor de ruimte V, zolang je vector niet de nulvector is, heb je precies 1 vector die een ruimte opspant.

Extra tips:

Ik citeer van wiki:

"De dimensie van een vectorruimte V is het aantal vectoren waaruit de basis van die vectorruimte is opgebouwd."

en

"In de lineaire algebra is een basis van een vectorruimte een verzameling van lineair onafhankelijke vectoren"

jackinthebox

De dimensie van V is sowieso 1, want de span bestaat maar uit 1 vector.

Voor U dacht ik aan het volgende:

Ik stelde eerst een lineaire combinatie van de vectoren gelijk aan 0

k(2, 3, 2-a, -1) + r(1, 2, -1, 4+a) = 0

Zo kwam ik tot een stelsel waarbij de eerste twee vergelijkingen respectievelijk 2k + r = 0 en 3k + 2r = 0 zijn. (In de andere twee vgl staan dan de a's). Hieruit concludeer ik dat r & k alletwee sowieso 0 moeten zijn, dus dat de span van de opgave een basis is voor U. (Mag dit echter zonder rekening te houden met de a's?)

Daaruit concludeerde ik dan weer dat de dimensie van U 2 is.

Ik weet echter totaal niet of mijn methode correct is.

Flisk

Naar mijn weten is dit volledig correct. Slechts wanneer je oplossingen vindt voor r en k die verschillen van 0, moet je beginnen kijken naar die a. Je weet nu dat er geen niet nul oplossingen bestaan voor r en k, dus je weet ook dat die vectoren altijd lineair onafhankelijk zijn (de waarde van a maakt niets meer uit).

Vraag voor de zekerheid wel eens na aan je lesgever of deze redenering juist is (ik kan ook fout zijn natuurlijk).

jackinthebox

Oké, bedankt!

Bij een volgende deelvraag moet ik de dimensie berekenen van U+V.

Kan ik dit opnieuw doen door een stelsel op te lossen, maar dan met de 3 vectoren samen? Nu krijg ik het echter wel moeilijk met de a's...

Flisk

Kan je inderdaad op die manier doen denk ik. Je zoekt de waarde van a zodat de vectoren lineair (on)afhankelijk zijn.

jackinthebox

Ik heb het nu anders aangepakt. Ik weet dat de twee vectoren van U lineair onafhankelijk zijn, dus kan ik ook gewoon kijken of de laatste vector lineair onafhankelijk is met de eerste twee vectoren individueel. Dan kom ik uit dat de drie vectoren ook een basis vormen voor de som U + V.

Flisk

Dat is geen goede methode. Het kan zijn dat ze wel lineair afhankelijk zijn als je ze alle drie bekijkt, maar onderling elk lineair onafhankelijk zijn.

Ik zal even een voorbeeldje geven:

Bekijk eens de vectoren (0,1),(1,0) en (1,1). Je ziet direct dat (1,1)=(0,1)+(1,0). Dus deze vectoren zijn lineair afhankelijk. Bekijk je echter elke combinatie met 2 vectoren, zijn ze allemaal lineair onafhankelijk:

(1,1) en (0,1) zijn lineair onafhankelijk.

(1,1) en (1,0) zijn lineair onafhankelijk.

(1,0) en (0,1) zijn lineair onafhankelijk.

Dit betekent dus niet dat (0,1),(1,0) en (1,1) lineair onafhankelijk zijn (ze liggen in hetzelfde vlak en zijn dus lineair afhankelijk).

jackinthebox

Ja, dat heb ik zojuist ook ondervonden... Ik weet echter geen andere methode dan het stelsel (wat mij onbegonnen werk lijkt). Iemand een idee?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Dimensie berekenen met een parameter

Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter

Re: Dimensie berekenen met een parameter