Springen naar inhoud

Bespreken stelsels ( met matrices)



  • Log in om te kunnen reageren

#1

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 april 2014 - 15:44

Hallo, Ik zit met een groot probleem. Zoals is geweten, kun je verschillende bewerkingen doen om een matrix te herleiden naar zn rij canonieke vorm. Hierbij verkrijg je de antwoorden van een stelsel met zn reele parameters.

Nu er zijn 2 manieren om een stelsel/matrix op te lossen, eerste is spil naar 1 herleiden door rijen te verwisselen of door te delen door hetzelfde getal. daarna met die 1 alles eronder en erboven wegvegen.

2de manier is: je let gewoon niet of er een 1 als spil staat of niet, je vermenigvuldigd de rijen met elkaar en trekt ze van elkaar af. Zo ruim je alles boven en onder de spil weg, maar er staat geen 1 als spil, dus moet je achteraf nog bewerkingen uitvoeren om als spil overal 1 te krijgen.

Ze bespreken deze 2 methoden afzonderlijk, maar wat ik nu zelf heb gemerkt is dat je ze gewoon door elkaar mag gebruiken, nietwaar? het door elkaar gebruiken is handig want soms moet je operaties uitvoeren die gemakkelijker zijn met de andere methode.


Dat was mn eerste vraag :)
Ik zit nog met een ander hoofdprobleem:
Voor de bespreking van de volgende stelsel, kom ik het volgende uit. Ik heb het meerdere keren opgelost en steeds kom ik hetzelfde uit. Er is een probleem die ik in de bewerking vermeld: er worden geen voorwaarden opgesteld in het antwoordenblad! Wanneer ik het zelf oplos, zie ik duidelijk dat er 2 voowaarden ontstaan: m =2 of m ≠2 .

Geplaatste afbeelding



Hartelijk bedankt!!

Veranderd door mcfaker123, 01 april 2014 - 15:44


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 april 2014 - 17:23

Je eerste vraag: de rij gereduceerde echelon vorm van een matrix is uniek, dus je mag inderdaad alles door elkaar gebruiken, zolang je natuurlijk je aan de regels houdt (dus correct je rijoperaties en vermenigvuldigingen doen enz...). Neemt niet weg dat zonder algemene methode je snel fouten kan maken.

Er is echter ook de rij gereduceerde vorm, die niet uniek is en de rij echelon vorm, ook niet uniek. Dus als er naar die vormen gevraagd wordt, volg je best het algoritme in je boek.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 april 2014 - 18:04

Bedankt en wat moet ik doen voor de 2de vraag?

#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 april 2014 - 18:25

Heb je uitwerking niet nagekeken (zal ik later eens doen), maar merk wel op dat de cartesische vergelijking z=1 overeenkomt met oneindig veel oplossingen. Er worden geen voorwaarden voor x en y gesteld dus je mag die vrij kiezen. Je krijgt dan in feite een vlak evenwijdig met het xy-vlak dat door z=1 gaat.

EDIT:
Ah ik zie het al, je antwoord bij m=2, het zou dat vlak zijn (z=1) maar als je naar de oorspronkelijke vergelijkingen kijkt, kan dit nooit kloppen. Je hebt het geval m=2 besproken nadat je al eens rij1 en rij3 met m-2 hebt vermenigvuldigd. Eigenlijk moest je daar al onderscheid maken, want als je een rij met 0 vermenigvuldigd gaat er informatie verloren. Je hebt twee rijen met 0 vermenigvuldigd dus er is informatie over 2 coördinaten verloren gegaan. De z waarde klopt, maar er is slechts één oplossing (dus geen vlak). Uiteindelijk zal je merken dat het antwoord in je boek klopt voor alle m.

Veranderd door Flisk, 01 april 2014 - 18:58

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 april 2014 - 19:15

Maar ik heb ruimtemeetkunde nog niet gezien, dus ik snap niet echt wat u zegt. :( Mn boek zegt niet dat er 2 gevallen zijn waarbij m gelijk is en waarbij m niet gelijk is aan 2.

#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 april 2014 - 19:30

Dan heb ik het niet duidelijk genoeg uitgelegd. Kijk eens naar je 2de stap. Daar vermenigvuldig je twee rijen met m-2. Als je daarna naar m=2 kijkt, bekom je rare resultaten omdat je eigenlijk met 0 hebt vermenigvuldigd.

Je hebt bijvoorbeeld zoiets:
2x+3=5
Je ziet makkelijk dat x=1 een oplossing is.
Als je echter beide leden met 0 vermenigvuldigt:
0=0
Kan je het niet meer oplossen.

Wat je zou kunnen doen is vanaf het begin het stelsel ook eens oplossen met m=2.

Veranderd door Flisk, 01 april 2014 - 19:34

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2014 - 00:06

Waarom mag je niet met m-2 vermenigvuldigen? Het creert toch niet 2 verschillende voorwaarden voor m. Dat gebeurt enkel als men door m-2 deelt! Want je mag niet delen door 0, dus enkel daar waar wordt gedeeld door m-2, pas daar(!) stelt men de voorwaarde m=2 of m m ≠2 op! De voorwaarden worden dus niet (!) opgesteld bij vermenigvuldiging, maar bij deling van een getal die een parameter bevat.


Ik weet niet wat er mis is met deze methode, dus heb ik maar een andere methode geprobeerd:
Geplaatste afbeelding

En ook hier kom ik een hoop onzin uit? Ik ben nu echt niet meer zeker, misschien is mijn antwoord hierboven correct en het antwoord van het boek juist incorrect?

#8

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2014 - 10:45

Je eerste stap bij mLaTeX 2 is niet correct (waar je R1-mR2 doet). Dit moet LaTeX zijn. De andere term in die rij is ook fout lijkt me. Misschien ben je vergeten R2 met m te vermenigvuldigen?
Het geval m=2 heb je goed opgelost en je ziet ook dat het klopt met de algemene oplossing in je boek (vul maar eens in). Het antwoord in je boek is correct.

Op zich is met nul vermenigvuldigen niet 'fout' maar bij het oplossen van een stelsel verlies je dan een vergelijking waarna je onmogelijk de uitkomst kan vinden. Kijk nog eens naar het voorbeeldje met 1 variabele dat ik gaf in post 6. Ik weet niet hoe ik het nog anders kan uitleggen maar het is wel de onderliggende reden van je 2 nulrijen bij die eerste oplossing die je postte.

Veranderd door Flisk, 02 april 2014 - 10:47

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#9

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 april 2014 - 16:24

Ik zie het nu in denk ik.Bij de 2de oefening waar ik de 1de methode heb gebruikt( dus eerst alle spillen naar 1 en wegvegen) heb ik inderdaad een fout gemaakt.


Bij de eerste oefening waar ik de 2de methode heb gebruikt( gewoon onder en boven het hoofdelement/spil getallen wegvegen zonder het hooftelement bij start de veranderen naar 1 door deling), daar heb ik inderdaad vermenigvuldigd met 0 en daarom vallen vergelijkingen weg.

Daarom concludeer ik dat bij het bespreken van stelsels het beter is OM NOOIT de uit te voeren rij (rij die je verandert aan de hand van elementaire rij-operaties) te vermenigvuldigen met een getal waarin een parameter (in dit geval m) vervat zit, nietwaar?

Want het kan zijn dat het getal dat je vermenigvuldigt met de uit te voeren rij 0 is en dan gaan er dus vergelijkingen weg zoals u zegt! Dan blijft er enkel z=1 over zonder x of y!

En in welke van de 2 oplosmethoden van stelsels wordt de uit te voeren rij vermenigvuldigt met een getal dat mogelijk een parametervariabele bevat? Juist ja, de 2de methode (waar je gewoon onder en boven de hoofdelement wegveegt en pas aan het einde alle spillen/hoofdelementen naar 1 herleid door deling door hetzelfde getal). De 2de methode gebruikt immers berekeningen in de vorm van aR1-bR2 : Hierin is R1 de uit te voeren rij en het wordt met a vermenigvuldigt. a kan een reel getal zijn of een getal dat een parameter bevat!

Conclusie: Bij het bespreken van stelsels beter niet de 2de methode gebruiken, want die gebruikt de bewerking aR1-bR2

De eerste methode gebruikt de volgende bewerking: R1-bR2 Hier wordt de uit te voeren rij dus niet beinvloedt door parameters en vallen er geen vergelijkingen weg! (want er staat geen a voor R1)


Op zich is met nul vermenigvuldigen niet 'fout' maar bij het oplossen van een stelsel verlies je dan een vergelijking waarna je onmogelijk de uitkomst kan vinden


Om eerlijk te zijn, is het nog steeds mogelijk om de uitkomst te vinden: je hebt z=1 en als je naar m kijkt hebben we gesteld dat die m=2. Dus vullen we zowel de waarde van z(=1) als van m(=2) in in de oorspronkelijke stelsel en los je op voor de waarden van zowel x als y en je bekomt x=6 , y=-3 terwijl z al geweten is.
Maar als je dit wilt vermijden is het beter om gewoon nooit stelsels te bespreken met de 2de methode die de bewerking aR1-bR2 gebruikt!

Ben ik ongeveer correct in mijn conclusies? :D

Oja er is dan nog wel een probleem dat optreedt bij beide oplossingen en dat is dat we in beide gevallen 2 afzonderlijke gevallen voor m hebben opgesteld: We zeggen dus dat als m NIET gelijk is aan 2 , dat de oplossing V= (m²+m, 1-2m, 1-m) is! En dat is dus niet zo, want ook als m=2 dan is de oplossing (6,-3,1) wat je uitkomt als je gewoon 2 voor m invult in V= (m²+m, 1-2m, 1-m).

Veranderd door mcfaker123, 02 april 2014 - 16:39


#10

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 april 2014 - 23:43

Ja het klopt ongeveer behalve deze laatste redenering:

We zeggen dus dat als m NIET gelijk is aan 2 , dat de oplossing V= (m²+m, 1-2m, 1-m) is! En dat is dus niet zo, want ook als m=2 dan is de oplossing (6,-3,1) wat je uitkomt als je gewoon 2 voor m invult in V= (m²+m, 1-2m, 1-m).

Je trekt een foute conclusie. Als mLaTeX 2 krijg je V= (m²+m, 1-2m, 1-m). Daarna kijk je naar het geval m=2 en kom je (6,-3,1) uit. Dit stemt inderdaad overeen met V= (m²+m, 1-2m, 1-m) voor m=2. Dat is ook de reden waarom er in je boek slecht 1 oplossing staat. Het is niet omdat je dit verband krijgt bij mLaTeX 2 dat je niet hetzelfde kan uitkomen bij m=2. Je schreef "En dat is dus niet zo", wat niet klopt.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#11

mcfaker123

    mcfaker123


  • >1k berichten
  • 1135 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 april 2014 - 16:08

U hebt gelijk , je kan wel gemakkelijk in de war geraken hiermee als je niet goed oplet :)

Maar ik heb nog een vraag over de regel die ons zegt wat voor antwoord we hebben, waarbij je dus kijkt naar de rang van de rij canonieke matrix en daaruit afleid welk soort antwoord we krijgen: 1 oplossing, oneindig aantal oplossingen of strijdig stelsel.

Als je de 2de methode gebruikt waarbij je dus gewoon de getallen wegveegt en pas helemaal aan het einde deelt om voor alle hoofdelementen 1 te bekomen, dan kom je bij geval m=2 het volgende uit:
Geplaatste afbeelding
Ik heb de regel die ons zegt over welk soort antwoord het gaat erbij geschreven, en het moet dus om een oneindig aantal oplossingen gaan. Maar(!) dit is niet waar, want als ik de eerste methode gebruik kom ik maar één antwoord uit: (6,-3,1). Dit zegt me dat de regel niet klopt hier!!

Nu heb ik even nagedacht en weet ik nog dat we eerst met 0 hebben vermenigvuldigd wat 2 rijen wegveegt, is dit niet de oorzaak van de mislukking van de regel? Als dit het geval is dan hebben we nog een reden meer om niet de 2de oplosmethode, maar de 1ste te gebruiken!






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures