Moeilijke reeks

Complexe Fred

Beste,

Ik probeer al een tijdje een reeks te vereenvoudigen maar het wil me maar niet lukken.

Namelijk: [(n-1)+(n-2)+...2+1]+[(n-2)+(n-3)+...+2+1]+...+[2+1]+[1]

= 1*(n-1)+2*(n-2)+...+(n-2)*2+(n-1)*1

= (als n oneven is: ~) 2*(n-1)+4*(n-2)+...+2*(n/2 * n/2)

Hier zit ik vast...

Hopelijk ziet iemand hoe je dit kan oplossen? (er mogen verwaarlozingen gemaakt worden)

Alvast bedankt!

rwwh

Heb je deze richting al geprobeerd:
[(n-1)+(n-2)+...2+1] = n.(n-1) / 2
[(n-2)+(n-3)+...+2+1] = (n-1).(n-2) / 2
Optellen levert:
(n-1)²
Zo kom je voor je hele reeks op een som kwadraten met steeds 2 ertussen.

Complexe Fred

Hmm, ja, lijkt e al beter dan mijn manier.

Dus dan bekom je iets in deze vorm: (n-1)²+(n-3)²+...+1

Als ik het goed heb bestaat deze veelterm dan uit (n-1)/2 termen?

Dan is de reeks dus asymptotisch equivalent met (n-1)/2 * n²? (in geval dat n naar oneindig gaat)

Hmm, maar dan zit ik met een derde-macht :/

Complexe Fred

Ik heb het eens proberen uitwerken. Zou iemand kunnen bevestigen of dit correct is?

[(n-1)+(n-2)+...2+1]+[(n-2)+(n-3)+...+2+1]+...+[2+1]+[1]

=[ n.(n-1) / 2] + [(n-1).(n-2) / 2] + ... + 1

=(n-1)² + (n-3)² +...+ (n-2*(n-1)/2)²

=((n-1)/2)*n² - 2n(1+3+5+...+(n-1)/2) + (1+9+25+...?) (weet niet wat er op het vraagteken moet komen)

=n³/2-n²/2 - 2n*((n-1)n/4)/2 + (1+9+25+...?)

=n³/2 - n²/2 -n³/4 + n²/4 +(1+9+25...?)

=n³/4 - n²/4 +(1+9+25...?)

Alvast bedankt voor de moeite!

rwwh

Je kunt voor de volgende stap hier inspiratie opdoen: http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/sumNaturalSquares.htm

EvilBro

Complexe Fred schreef:Namelijk: [(n-1)+(n-2)+...2+1]+[(n-2)+(n-3)+...+2+1]+...+[2+1]+[1]

Ofwel:

\(\sum_{m=1}^{n-1}\left(\sum_{k=1}^m k\right)\)

Gebruik:

\(\sum_{a=1}^b a = \frac{b (b+1)}{2}\)

en:

\(\sum_{c=1}^d c^2 = \frac{d (d+1) (2 d + 1)}{6}\)

Je zou uit moeten komen op (n>1):

\(\frac{(n-1) n (n+1)}{6}\)

Complexe Fred

Als ik jouw tweede formule toe pas voor deze term (n-1)² + (n-3)² +...+ (n-2*(n-1)/2)² (bestaat uit (n-1)/2 termen als ik me niet vergis), dan bekom ik:

\(\frac{\frac{(n-1)}{2} (\frac{(n-1)}{2} +1) (2 \frac{(n-1)}{2} + 1)}{6}\)

Als ik dit verder uitwerk, kreeg ik dit:

\(\frac{(n-1) n (n+1)}{24}\)

En dan moeten we dit toch nog eens delen door 2 want in de formule met de 'c' tel je telkens één op bij c. Maar in deze reeks tel je er steeds 2 bij op...

Complexe Fred

Wat neem je dan voor 'd' in die tweede formule?

EvilBro

Ik heb het idee dat je bij de verkeerde reeks(en) begint. Aanschouw:

\(\sum_{m=1}^{n-1}\left(\sum_{k=1}^m k\right) = \sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{m (m+1)}{2}\right) = \sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{m^2 + m}{2}\right)\)

\(= \sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{m^2}{2}\right) + \sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{m}{2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n-1} m^2 + \frac{1}{2} \sum_{m=1}^{n-1} m \)

\(= \frac{1}{2} \frac{(n-1) n (2 (n-1)+1)}{6} + \frac{1}{2} \frac{(n-1) n}{2} = \frac{(n-1) n (2 n-1) + 3 (n-1) n}{12}\)

\( = \frac{(n-1) n (2 n + 2) }{12} = \frac{(n-1) n (n + 1) }{6}\)

Snappie?

Complexe Fred

Ah, wow, prachtig!

Heel hard bedankt!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Moeilijke reeks

Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks

Re: Moeilijke reeks