[wiskunde] Functievoorschrift berekenen

JutEnJul

Bij wiskunde ben ik inmiddels aangekomen bij integreren. Het berekenen van onbepaalde integralen lukt tot zover, maar ik stuit nu op het volgende.

Gegeven is de functie f(x)= 2x + (3/1+x²)

Bereken het functievoorschrift van de primitieve F van f waarvoor geldt F(1)=3.

Het antwoord is: 2x/ln2 + 3 arctan (x) + 3 - 2/ln2 - 3/4 * Pi

Ik snap van met name het rode gedeelte niet hoe ze hiertoe gekomen zijn. Is dit de constante C? En hoe wordt deze constante dan berekend?

Een ander voorbeeld is deze:

Gegeven is de functie f(x)= 5x⁶ + 4x³ + e^x + cos(x)
Bereken het functievoorschrift van de primitieve F van f waarvoor geldt F(0)=2.

Het antwoord: 5/7x⁷ + x⁴ + e^x + sin(x) + 1
Hier zou ik ervan uitgaan dat die +1 de constante is en dat invullen van F(0) het antwoord 2 oplevert. Immers 2 - e⁰= 1.

Wie kan me hierbij uitleg geven? Met het boek (Toegepaste Wiskunde voor hoger onderwijs) kom ik er niet uit. Alvast bedankt.

mathfreak

Ik neem aan dat bij de eerste functie het voorschrift

$f(x)=2^x+\frac{3}{1+x^2}$

bedoeld wordt. Hiervan is de primitieve

$\frac{2^x}{\ln 2}+3\arctan x+c$

. Als F(1) = 3, wat moet er dan gelden?
Stel nu bij de tweede functie eens de algemene primitieve op. Wat moet er dan gelden als F(0) = 2, dus wat is dan de gezochte primitieve?

JutEnJul

Bedankt voor je reactie, kan er alleen nog steeds geen touw aan vast knopen.

... Als F(1) = 3, wat moet er dan gelden?

Ik denk dat de constante moet zorgen voor y=3 wanneer de uitkomst van de primitieve ongelijk is aan y=3? Kan het helemaal mis hebben, maar nogmaals.. er staat hierover geen uitleg in mijn boek.

Stel nu bij de tweede functie eens de algemene primitieve op. Wat moet er dan gelden als F(0) = 2, dus wat is dan de gezochte primitieve?

Primitieve: F(x)=5/7x7 + x4 + ex + sin(x) + C en voor F(1)=3 moet C=1 zijn?

Drieske

JutEnJul schreef: Ik denk dat de constante moet zorgen voor y=3 wanneer de uitkomst van de primitieve ongelijk is aan y=3? Kan het helemaal mis hebben, maar nogmaals.. er staat hierover geen uitleg in mijn boek.

Stel je weet dat f(x) = x² + 3. Wat is dan f(1)? Je hebt nu iets gelijkaardigs, namelijk F(x) = $Afbeelding$ . Wat is dan F(1)? Je eist nu dat datgene wat je nu hebt gelijk is aan 3. Begrijp je dat?

JutEnJul

Drieske schreef:Stel je weet dat f(x) = x² + 3. Wat is dan f(1)?

f(1) = 1² + 3 = 4

Drieske schreef:Je hebt nu iets gelijkaardigs, namelijk F(x) = $Afbeelding$ . Wat is dan F(1)? Je eist nu dat datgene wat je nu hebt gelijk is aan 3. Begrijp je dat?

F(1)=5.2416 + 3 - 2/ln2 - 3 arctan 1 = 3

Ik snap het bijna helemaal. Er is gekozen voor plus 3 om er vervolgens het gedeelte 2/ln2+3 arctan 1 ervan af te trekken zodat wordt voldaan aan de voorwaarde F(1)=3. Dat er dan gekozen wordt voor -3/4 Pi in plaats van 3 arctan 1 snap ik niet helemaal. Ik heb uitgerekend dat dit hetzelfde oplevert en dat kan natuurlijk ook niet anders, maar ik ga ervan uit dat -3 arctan 1 ook gewoon goed is. Wellicht kan iemand nog aangeven hoe ik zelf tot -3/4 Pi had kunnen komen.

Drieske

JutEnJul schreef: F(1)=5.2416 + 3 - 2^1/ln2 + 3 - 2/ln2 - 3 arctan 1 = 3

Ik snap het bijna helemaal. Er is gekozen voor plus 3 om er vervolgens het gedeelte 2/ln2+3 arctan 1 ervan af te trekken zodat wordt voldaan aan de voorwaarde F(1)=3. Dat er dan gekozen wordt voor -3/4 Pi in plaats van 3 arctan 1 snap ik niet helemaal. Ik heb uitgerekend dat dit hetzelfde oplevert en dat kan natuurlijk ook niet anders, maar ik ga ervan uit dat -3 arctan 1 ook gewoon goed is. Wellicht kan iemand nog aangeven hoe ik zelf tot -3/4 Pi had kunnen komen. Zie het verband niet zo snel.

Niet helemaal. Je gaat nu wat snel. Ik had gezegd dat F(x) = $Afbeelding$ en dus is F(1)=... Die c is onbekend (momenteel) en dus moet je antwoord een c bevatten...

Ivm de arctan: stel dat arctan(1) = y, dan is tan(y) = 1. Akkoord? Voor welke hoek is de tan gelijk aan 1?

Safe

JutEnJul schreef: F(1)=5.2416 + 3 - 2/ln2 - 3 arctan 1 = 3

Waar komt 5.2416 vandaan ...

JutEnJul

Drieske schreef:
Niet helemaal. Je gaat nu wat snel. Ik had gezegd dat F(x) = $Afbeelding$ en dus is F(1)=... Die c is onbekend (momenteel) en dus moet je antwoord een c bevatten...

Ivm de arctan: stel dat arctan(1) = y, dan is tan(y) = 1. Akkoord? Voor welke hoek is de tan gelijk aan 1?

Dat wordt dan: F(1)=2¹/ln2 + 3 arctan 1 + C = 5.2416 + C

De tan van(45/180*Pi Rad)=1

Safe schreef:

F(1)=5.2416 + 3 - 2/ln2 - 3 arctan 1 = 3

Waar komt 5.2416 vandaan ...

2/ln2 + 3 arctan 1 = 5.2416

Safe

Dat vermoedde ik al, maar ik denk dat het de bedoeling is exact te werken! Zoals arctan(1)=...

JutEnJul

Daar heb je gelijk in, maar ben niet zo goed met LaTex en dit is wat "overzichtelijker" (voor mij dan

)

Safe

Maar wat is arctan(1)=... , exact?

JutEnJul

Safe schreef: Maar wat is arctan(1)=... , exact?

Ah ja, ik zie m. arctan(1)=1/4Pi

3*1/4Pi = 3/4Pi

Safe

Mooi!

Drieske

JutEnJul schreef:
Dat wordt dan: F(1)=2¹/ln2 + 3 arctan 1 + C = 5.2416 + C

De tan van(45/180*Pi Rad)=1

2/ln2 + 3 arctan 1 = 5.2416

Met de info die je nu vergaart hebt, kun je dan ook misschien zeggen wat je C dus moet zijn? Hou hierbij in de gaten dat je wilt dat F(1) = 3.

JutEnJul

Dan zou C moeten zijn -2.2416?
Oftewel +3 - 2/ln2 - 3/4Pi

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Functievoorschrift berekenen

Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen

Re: Functievoorschrift berekenen