ontsnappen aan aan zwart gat niet mogelijk
Geplaatst: za 12 apr 2014, 13:21
Volgens onderstaande redenering kun je ontsnappen aan een zwart gat als je maar een motor hebt die sterk genoeg is. Wat klopt er niet?
Ontsnappingssnelheid aan een hemellichaam
De ontsnappingssnelheid aan een hemellichaam met massa M en straal R is eenvoudig af te leiden. Je integreert de gravitatiekracht die een object ondervindt van R tot oneindig en die stel je gelijk aan de kinetische energie die je aan het object meegeeft aan het oppervlak. Je krijgt dan v2= 2GM/R (met G de gravitatieconstante).
De interpretatie is eenvoudig: v is de snelheid waarmee je een bal omhoog moet trappen waarmee hij nog net kan ontsnappen aan het zwaartekrachtveld indien hij geen wrijving van de atmosfeer ondervindt.
Zwart gat en Schwartzschieldradius
Als de onstsnappingssnelheid gelijk wordt aan de lichtsnelheid c, dan is de bijbehorende straal Rs de Schwartszchildradius, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius (vul voor v c in en isoleer R in de formule).
De interpretatie is (voor zover ik t begrijp):
(1) op Rs moet je een object met de lichtsnelheid omhoog gooien als je wilt dat het niet terugvalt. Dat is niet mogelijk. Je hebt dan een zwart gat.
(2) De kromtestraal van een lichtstraal door de gravitatielens is op dit punt ook Rs. Daarbinnen kan het licht niet ontsnappen, daarom kun je daar niet kijken. Een foton is dus een soort van geostationaire satelliet. De bol met straal Rs rond het massamiddelpunt noemen we daarom de waarnemingshorizon.
(3) Als je een massa M samenperst tot een volume die geheel binnen Rs past, dan heb je een zwart gat.
Iedereen weet dat als je met je raketje binnen de waarnemingshorizon komt er geen ontsnappen meer aan is. Maar is dat wel zo?
Je kunt met een raket ontsnappen aan de zwaartekracht van de aarde. Daarvoor is het niet nodig dat de raket de ontsnappingssnelheid van ca. 11 km/s haalt. Zolang de voortstuwing maar sterker is dan de gravitatiekracht. Evenzo kun je met een raket ontsnappen aan de zwaartekracht van een zwart gat, ook als je je binnen de waarnemingshorizon bevindt. Zolang de voortstuwing van je raketje maar groter is dan de gravitatiekracht.
Gravitatiekracht aan de waarnemingshorizon
Die gravitatiekracht hoeft helemaal niet gigantisch te zijn. Een supermassief zwart gat heeft aan de waarnemingshorizon een relatief kleine aantrekkingskracht. Noem deze aantrekkingskracht g kom ik op: g = c4/(4GM) en daar volgt weer uit dat een zwart gat met 1,5 1012 zonnemassa's ongeveer gelijke zwaartekracht heeft aan de aarde. Dat heeft weer een leuke interpretatie (het is maar wat je leuk vindt...): de kromtestraal die een lichtstraal heeft door het gravitatieveld van de aarde op het moment dat hij langs het aardoppervlak scheert, is gelijk aan Rs van zo'n hypothetisch zwart gat.
Maar waar het me om gaat: Volgens deze redenering kun je ontsnappen aan een zwart gat als je motor maar sterk genoeg is. Waar gaat het fout?
Ontsnappingssnelheid aan een hemellichaam
De ontsnappingssnelheid aan een hemellichaam met massa M en straal R is eenvoudig af te leiden. Je integreert de gravitatiekracht die een object ondervindt van R tot oneindig en die stel je gelijk aan de kinetische energie die je aan het object meegeeft aan het oppervlak. Je krijgt dan v2= 2GM/R (met G de gravitatieconstante).
De interpretatie is eenvoudig: v is de snelheid waarmee je een bal omhoog moet trappen waarmee hij nog net kan ontsnappen aan het zwaartekrachtveld indien hij geen wrijving van de atmosfeer ondervindt.
Zwart gat en Schwartzschieldradius
Als de onstsnappingssnelheid gelijk wordt aan de lichtsnelheid c, dan is de bijbehorende straal Rs de Schwartszchildradius, zie http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_radius (vul voor v c in en isoleer R in de formule).
De interpretatie is (voor zover ik t begrijp):
(1) op Rs moet je een object met de lichtsnelheid omhoog gooien als je wilt dat het niet terugvalt. Dat is niet mogelijk. Je hebt dan een zwart gat.
(2) De kromtestraal van een lichtstraal door de gravitatielens is op dit punt ook Rs. Daarbinnen kan het licht niet ontsnappen, daarom kun je daar niet kijken. Een foton is dus een soort van geostationaire satelliet. De bol met straal Rs rond het massamiddelpunt noemen we daarom de waarnemingshorizon.
(3) Als je een massa M samenperst tot een volume die geheel binnen Rs past, dan heb je een zwart gat.
Iedereen weet dat als je met je raketje binnen de waarnemingshorizon komt er geen ontsnappen meer aan is. Maar is dat wel zo?
Je kunt met een raket ontsnappen aan de zwaartekracht van de aarde. Daarvoor is het niet nodig dat de raket de ontsnappingssnelheid van ca. 11 km/s haalt. Zolang de voortstuwing maar sterker is dan de gravitatiekracht. Evenzo kun je met een raket ontsnappen aan de zwaartekracht van een zwart gat, ook als je je binnen de waarnemingshorizon bevindt. Zolang de voortstuwing van je raketje maar groter is dan de gravitatiekracht.
Gravitatiekracht aan de waarnemingshorizon
Die gravitatiekracht hoeft helemaal niet gigantisch te zijn. Een supermassief zwart gat heeft aan de waarnemingshorizon een relatief kleine aantrekkingskracht. Noem deze aantrekkingskracht g kom ik op: g = c4/(4GM) en daar volgt weer uit dat een zwart gat met 1,5 1012 zonnemassa's ongeveer gelijke zwaartekracht heeft aan de aarde. Dat heeft weer een leuke interpretatie (het is maar wat je leuk vindt...): de kromtestraal die een lichtstraal heeft door het gravitatieveld van de aarde op het moment dat hij langs het aardoppervlak scheert, is gelijk aan Rs van zo'n hypothetisch zwart gat.
Maar waar het me om gaat: Volgens deze redenering kun je ontsnappen aan een zwart gat als je motor maar sterk genoeg is. Waar gaat het fout?