Springen naar inhoud

Stelling van sylvester.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2006 - 21:15

Hallo,

Weer zo'n een stelling deze maal die van sylvester het heeft lang geduurd voor dat ik die begreep maar nu heb ik toch een vaag idee over alleen blijft het nog niet goed hangen daarom.

Geplaatste afbeelding

ik denk het volgende als je binen zo'n euclidische ruimte zit kan je van eender welke matrix een diagonaal matrix maken dit zeker met reele getallen op die diagonaal als je nu gewoon het inprodukt berekend dan kan je concluderen dat als je twee positieven met elkaar vermenignvuldigt dat je dan een positief krijgt van wege je rangschikking kun je nadien aflezen of je een pos resultaat heb of niet.

Wie kan deze redenering over het bewijs wat aanscherpen?

Groeten dank bij voorbaat.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2006 - 21:30

ik denk het volgende als je binen zo'n euclidische ruimte zit kan je van eender welke matrix een diagonaal matrix maken dit zeker met reele getallen op die diagonaal als je nu gewoon het inprodukt berekend dan kan je concluderen dat als je twee positieven met elkaar vermenignvuldigt dat je dan een positief krijgt van wege je rangschikking kun je nadien aflezen of je een pos resultaat heb of niet. .

Nee, dat geldt niet voor eender welke matrix. ReŽle matrices zijn altijd diagonaliseerbaar als ze symmetrisch zijn - maar dat is in deze stelling wel het geval omdat je symmetrische billineaire afbeeldingen beschouwt. Daaraan kan je dan een kwadratische vorm associŽren en de stelling verschaft je dan informatie over het al dan niet 0, positief of negatief zijn van de coŽfficiŽnten.
Hieruit kan je dan gemakkelijk gaan afleiden of een kwadratische vorm (semi-) pos/neg definitiet is en legt tevens het verband met (de tekens van de) eigenwaarden. Op basis daarvan kan je dan je kwadratische vormen eventueel gaan classificeren.

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2006 - 22:07

maar met dit kunnen we toch een omgekeerde weg difinieren van kwadratische vorm terug naar inwendig produkt. en dat inwendig produkt is toch bij alles gedefineerd?

Groeten.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2006 - 22:12

Het is niet omdat een inwendig product gedefinieerd is in een Euclidische ruimte dat opeens alle reŽle matrices daar diagonaliseerbaar zijn.
Ook de stelling gebruikt dat niet, er staat expliciet dat het gaat over symmetrische billineaire afbeeldingen en die geven aanleiding tot een geassocieerde symmetrische reŽle matrix die op zijn beurt steeds diagonaliseerbaar is. Voor een willekeurige matrix geldt dit niet, of dat nu in de context van een Euclidische ruimte waarop een inproduct gedefinieerd is of niet ...

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2006 - 11:36

Okť we werken dus met een symetrische bilineaire afbeelding hieraan is een kwadratisch vorm geassocieerd deze bezitten we in sommige gevallen en vanuit dat willen we terug het in produkt reconstrueren klopt dit?

net voor dat men zegt neem nu x bij die sommaties schrijft men die 3 punten wat bedoel men daar mee?

Groeten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 14:19

Okť we werken dus met een symetrische bilineaire afbeelding †hieraan is een kwadratisch vorm geassocieerd deze bezitten we in sommige gevallen en vanuit dat willen we terug het in produkt reconstrueren klopt dit?

Wat bedoel jij eigenlijk met 'het inproduct reconstrueren'. We construeren hier helemaal geen inproduct...

net voor dat men zegt neem nu x bij die sommaties schrijft men die 3 punten wat bedoel men daar mee?

Op basis van de verschillende gevallen (grenzen van de indices) voert men nieuwe namen/notaties is, op basis van de tekens die dan overeenkomen met de tekens van je eigenwaarden.

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2006 - 16:11

 
Wat bedoel jij eigenlijk met 'het inproduct reconstrueren'. We contrueren hier helemaal geen inproduct...  


Ik dacht dat dat zowat de weg terug was of zoiets ik meende dat die leraar dat gezegd had maar ik weet het niet meer voor 100 procent.
maar straks gebruik ik hetzelfde voor kwadrieken en nog zoiets dus moet ik dat goed begrijpen kan iemand in het kort uitleggen hoe ik dit eigenlijk moet zien.

Groeten.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2006 - 16:12

Dat is net de bedoeling ja, je gaat dit gebruiken bij de classificatie van de kwadrieken: waar je dan het verband legt tussen de tekens van de eigenwaarden en (het definiet zijn van de) kwadratische vorm.

#9

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2006 - 14:36

orthonormaal?

wij hebben dit bewezen in een algemeen geordend veld, dus bv de rationale getallen of de algebraische reele getallen, allemaal even goed
het enige onderscheid is dat je bij R aan het aantal plusjes en minnetjes ook direct kunt uitmaken of de bilineaire vormen isometrisch zijn, terwijl sylvester alleen een nodige voorwaarde geeft : ze moeten zelfde aantal plusjes en minnetjes hebben om isometrisch te zijn, maar niet dat ze dan gegarandeerd isometrisch zijn

Ik wil maar zeggen, het is mogelijk om al dit te bewijzen zonder een keer het woord orthonormaal te laten vallen

#10

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 december 2009 - 18:31

Aan elke bilineaire afbeelding kan je dus een matrix A verbinden, die bestaat uit elementen aij, met aij het resultaat van b(ei,ej).

Als nu de afbeelding ook symmetrisch is, dus b(x,y)=b(y,x), dan is ook de matrix A symmetrisch.

Ik zie echter niet goed in hoe dat komt.

Kan iemand me dit uitleggen a.u.b.?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures