Bewijzen waarom koordenvierhoek

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Berichten: 92

Bewijzen waarom koordenvierhoek

Waarom zijn PMBD en PAMC koordenvierhoeken in de volgende afbeelding?

Afbeelding

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Neem hier maar eens een kijkje: http://www.pandd.demon.nl/koordenvierh.htm

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Neem hier maar eens een kijkje: http://www.pandd.demon.nl/koordenvierh.htm


Maar kan je ook bewijzen dat PMBD en PAMC koordenvierhoeken zijn? Want ik zie dat niet [wortel]

Berichten: 237

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Koordenvierhoek PMBD bestaat uit twee rechthoekige driehoeken MBD en MPD. Een rechthoekig driehoek is altijd in een cirkel ingeschreven met de schuine zijde als middellijn, de 2 rechthoekige driehoeken hebben zelfde schuine zijde => zelfde middellijn=> zelfde cirkel=> koordenvierhoek is ingeschreven in een cirkel.

koordenvierhoek PAMC is op zelfde manier te bewijzen
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

hk BBD=hk MPD=90, dus de som is 180.

drh MCA is rechthoekig in A en drh MCP is rechthoekig in P, zodat ze dezelfde omgeschreven cirkel hebben.

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Bedankt... ik zie nu die koordenvierhoeken.

Nu het volgende leuke: hoe bewijs je dat hoek ACM = hoek BDM?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Zie je, dat hk BDM=hk BPM (denk aan de eerste kvhk)

En dat hk BPM=hk APM=hk ACM (denk aan de tweede kvhk)

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Safe schreef:Zie je, dat hk BDM=hk BPM (denk aan de eerste kvhk)

En dat hk BPM=hk APM=hk ACM (denk aan de tweede kvhk)


Eerlijk gezegd zie ik die niet... maar op basis van wat zijn die hoeken die je gaf gelijk? Die koordenvierhoek van de vorige vraag zag ik wel, maar deze hoeken niet.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Misschien is het verstandig als je de eerste kvhk tekent, dan is:

hk BDM=hk BPM (want ze staan op dezelfde bg in de eerste kvhk)

Teken nu de tweede kvhk, dan zijn:

hk APM=hk ACM (want ... tweede kvhk)

Berichten: 179

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Vanwaar komt die vraag, Leon85? :roll:

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Safe schreef:Misschien is het verstandig als je de eerste kvhk tekent, dan is:

hk BDM=hk BPM (want ze staan op dezelfde bg in de eerste kvhk)

Teken nu de tweede kvhk, dan zijn:

hk APM=hk ACM (want ... tweede kvhk)
Je hebt helemaal gelijk. Ik zat alsmaar naar die 90 graden hoeken te kijken in eerste kvhk van hoek b en hoek p. Maar toch ben ik het vergeten waarom die hoek BDM gelijk is aan hoek APM. Is de enige reden dat ze gelijk zijn omdat ze op dezelfde boog liggen?
Vanwaar komt die vraag, Leon85? :P
Ik zag die 2e kvhk niet en waarom hoek BDM gelijk is aan hoek ACM, dat is de reden waarom ik die stelde. Hoezo, zat je hier ook vast mee :roll: ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Leon985 schreef:
Safe schreef:Misschien is het verstandig als je de eerste kvhk tekent, dan is:

hk BDM=hk BPM (want ze staan op dezelfde bg in de eerste kvhk)

Teken nu de tweede kvhk, dan zijn:

hk APM=hk ACM (want ... tweede kvhk)
Je hebt helemaal gelijk. Ik zat alsmaar naar die 90 graden hoeken te kijken in eerste kvhk van hoek b en hoek p. Maar toch ben ik het vergeten waarom die hoek BDM gelijk is aan hoek APM. Is de enige reden dat ze gelijk zijn omdat ze op dezelfde boog liggen?
Ik heb lang over deze post gedacht? Nu enkele vragen:

'Zie' je de kvhk'en?

Weet je waarom dit kvhk'en zijn?

Ken je de volgende stelling?: Omtrekshoeken op gelijke bogen zijn gelijk!

Deze stelling moet je in beide kvhk'en gebruiken.

'Zie' nu nog eens de 'gequote post' en zorg voor een goede tekening.

(hk BPM=hk APM, want ze hebben dezelfde 'benen').

De keten in de redenering levert: hk BDM= hk ACM.

De opgave zal hier waarschijnlijk niet klaar zijn.

Want (bv) volgt ook nog: MD=MC.

Opm: Met welk programma heb je je eigen tekening gemaakt?

Hoe heb je deze in je post opgenomen?

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Safe schreef:Ik heb lang over deze post gedacht? Nu enkele vragen:

'Zie' je de kvhk'en?

Weet je waarom dit kvhk'en zijn?

Ken je de volgende stelling?: Omtrekshoeken op gelijke bogen zijn gelijk!
Jah. Overstaande hoeken zijn 90 graden bij beide kvhk'en. Die stelling van jou ken ik niet. Wel ken ik: elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek. Maar volgens mij is die van jouw geen stelling die bewezen is => staat niet in Wisforta.
Safe schreef:De opgave zal hier waarschijnlijk niet klaar zijn.

Want (bv) volgt ook nog: MD=MC.
Want? Zelfde lijn MP en zelfde hoek MPD en MPC? Maar dan mis ik nog 1 bewijsstuk.
Safe schreef:Opm: Met welk programma heb je je eigen tekening gemaakt?

Hoe heb je deze in je post opgenomen?
Stond volgens mij ergens op internet.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Jah. Overstaande hoeken zijn 90 graden bij beide kvhk'en.
.

Dat is bij de eerste kvhk juist, maar bij de tweede niet!

Het bewijs daarvan vind je zowel bij 'zweinestein' als bij mij.

Een stelling: kvhk <=> som der overstaande hoeken in een vhk is 180°.
Omtrekshoeken op gelijke bogen zijn gelijk.
Die stelling van jou ken ik niet. Wel ken ik: elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek. Maar volgens mij is die van jouw geen stelling die bewezen is => staat niet in Wisforta.
De stelling volgt onmiddellijk uit de jouwe, want de middelpuntshoek is voor beide even groot!

Mag je alleen de stellingen uit Wisforta gebruiken?
Safe schreef:De opgave zal hier 'waarschijnlijk' niet klaar zijn.

Want (bv) volgt ook nog: MD=MC.
Want? Zelfde lijn MP en zelfde hoek MPD en MPC? Maar dan mis ik nog 1 bewijsstuk.
Je hebt me niet verteld, dat er nog meer volgde.

Dit is een suggestie (zonder bewijs) van mijn kant!
Safe schreef:Opm: Met welk programma heb je je eigen tekening gemaakt?

Hoe heb je deze in je post opgenomen?
Stond volgens mij ergens op internet.
Beide vragen heb je (naar mijn gevoel) niet beantwoord.

Berichten: 92

Re: Bewijzen waarom koordenvierhoek

Safe schreef:Dat is bij de eerste kvhk juist, maar bij de tweede niet!

Het bewijs daarvan vind je zowel bij 'zweinestein' als bij mij.
Deze zag ik over het hoofd, bij kvhk denk ik meteen aan overstaande hoeken 90 graden.

hoek A is constant 90 graden => er gaat een cirkelboog door MCA (1)

hoek P is constant 90 graden => er gaat een cirkelboog door MCP (2)

hoek A = hoek P (3)

(1,2,3) => bg MAC = bg MPC => door MAPC gaat 1 cirkel => dus koordenvierhoek.
Safe schreef:De stelling volgt onmiddellijk uit de jouwe, want de middelpuntshoek is voor beide even groot!

Mag je alleen de stellingen uit Wisforta gebruiken?
Jah.. alleen stellingen uit Wisforta mag je gebruiken. Kan je die van jouw bewijzen/afleiden uit de mijne?
Safe schreef:Je hebt me niet verteld, dat er nog meer volgde.

Dit is een suggestie (zonder bewijs) van mijn kant!
Ohneej.. er kwam er ook geen... ik dacht dat je dat vroeg. Maar er volgt nix meer.
Beide vragen heb je (naar mijn gevoel) niet beantwoord.
Hmm... ik weet wel dat het zo is.

Ik zal het hieronder ff uitwerken, mag jij kijken of het klopt :roll:

Waarom PAMC koordenvierhoek?

Gegeven: lijn l loodrecht op in P; raaklijn in A snijdt l in C

Te bewijzen: PAMC koordenvierhoek

Bewijs:

hoek MAC = 90 graden (stelling raaklijn in A)

hoek MPC = 90 graden (rechte hoek)

hoek A is constant => er gaat een cirkelboog door MCA (1)

hoek P is constant => er gaat een cirkelboog door MCP (2)

hoek A = hoek P (3)

(1,2,3) => bg MAC = bg MPC => door MAPC gaat 1 cirkel => dus koordenvierhoek.

Waarom PMBD koordenvierhoek?

Gegeven: lijn l loodrecht op in P; raaklijn in B snijdt l in D

Te bewijzen: PMBD koordenvierhoek

Bewijs:

hoek MBD = 90 graden (stelling raaklijn in B) (1)

hoek MPD = 90 graden (rechte hoek) (2)

(1,2) hoek B = hoek P => dus koordenvierhoek (stelling overstaande hoeken samen 180 graden)

En idd heb ik niet de volledige bewijs waarom hoek ACM = hoek BDM is. Kan iemand die volledig aantonen?

Reageer