[wiskunde] continuiteit

mcfaker123

Hallo,

Voor de volgende functie weet ik wel dat in 3 (behoort tot domein functie) linkscontinu is, maar de limiet voor x-->3 bestaat niet, dus betekent dit dat de functie in het algemeen voor x-->3 discontinu is, nietwaar?

Afbeelding

Bedankt!

Flisk

Dat is een heel subtiele kwestie. Ik neem aan dat x>3 niet tot het domein van de functie behoort? In dat geval is de functie wel degelijk continu in x=3. Dit is een beetje contra-intuïtief, maar als je naar de definities kijkt is het zo, ik wil het gerust eens bewijzen maar dan wordt het wel vrij theoretisch.

Als je dat raar vindt, het kan nog erger. Weet je wat bijvoorbeeld een geïsoleerd punt in een domein is? Er geldt zelfs dat een functie altijd continu is in al haar geïsoleerde punten! Nu ben ik wat te moe om hier verder op in te gaan maar als je wilt probeer ik het eens uit te leggen morgen/dit weekend.

mcfaker123

Maar de limiet voor x=3 bestaat niet! Enkel de linkerlimiet bestaat wat betekent dat je zou kunnen zeggen dat de functie linkscontinu is in x=3, maar niet continu int algemeen is in x=3.

Je zou dit kunnen vergelijken met het volgende:

Afbeelding

Hier bestaat de limiet voor 3 ook niet, dus de functie is discontinu in 3 volgens mijn boek, maar er wordt wel vermeld dat de functie linkscontinu is in 3 wat niet betekent dat de functie continu is in 3.

Flisk

De limiet bestaat wel... Er is hier niet zoiets als een rechterlimiet want de functie is niet gedefinieerd in x>0. De limiet in je eerste post is gelijk aan de linkerlimiet. In je bovenstaand voorbeeld is er wel een rechterlimiet, in dat geval moeten de linker en rechterlimiet gelijk aan elkaar zijn, en zijn ze gelijk aan de limiet. De clou zit hem in het feit dat het geval in je eerste post, niet gedefinieerd is rechts van x=3, dus moet er geen rekening gehouden worden met de rechterlimiet... Maar in je bovenstaande voorbeeld is de functie wél gedefinieerd in x>3.

Ik geef toe, het klinkt wat wazig, ik wil het gerust aantonen/bewijzen. Geeft jouw boek epsilon delta definities? Zo niet, zal het moeilijk worden om uit te leggen.

Het gebeurt ook vaak dat men dit soort dingen fout uitlegt/voorstelt in het middelbaar onderwijs. Dit komt omdat wiskunde dan niet echt wordt vastgelegd in ondubbelzinnige definities. In het middelbaar is men vaak niet wiskundig correct en gaat men af op intuïtie. Neem je er een serieuze cursus analyse bij, zal je merken dat dit soort geval besproken wordt.

mcfaker123

De limiet bestaat wel... Er is hier niet zoiets als een rechterlimiet want de functie is niet gedefinieerd in x>3.

Als er niks gedefinieerd is rechts, dan bestaat de rechterlimiet niet. Als de rechterlimiet niet bestaat dan kan nooit voldaan worden aan de stelling:

______________________________________________________________________________

"Een limiet voor x-->a bestaat a.s.a. de linker en rechterlimieten bestaan en gelijk zijn aan elkaar."
______________________________________________________________________________

Dit betekent dat de limiet voor a of 3 in dit geval niet bestaat. Aangezien de limiet niet bestaat kan die ook nooit gelijk zijn aan de functiewaarde van a of 3. Dus hieruit volgt dat de functie discontinu is in 3 voor de eerste afbeelding.

Het kan natuurlijk zijn dat zoals u zegt er iets niet klopt in mijn redenering, omdat zoals u zegt het middelbaar onderwijs niet alles correct(?) uitlegt.

We kunnen enkel zeggen dat de functie linkscontinu is in 3, maar niet continu is in 3.

Waarschijnlijk heb ik niet genoeg kennis hierover & bent u correct. Ik wil u ook geen last zijn met de bewijzen, Ik ga gewoon onthouden wat u zei voor later!

aadkr

volgens mij heeft mcfacer123 gewoon gelijk

Flisk

Je mag kritisch zijn, geen probleem. En je bent geen last, ik wil er gerust dieper op in gaan, op die manier verbetert mijn kennis ook

Die stelling die je geeft klopt niet in de zin van dat die onvolledig is (dat bedoelde ik dus met dingen die fout worden voorgesteld in het middelbaar).
Ik zal eens een correcte stelling geven:

Beschouw een functie

\(f:A\to\mathbb{R}\)

met A deelverzameling van dom(f).
Als het punt c een ophopingspunt is van de verzamelingen

\(A\cap]-\infty,c[\)

en

\(A\cap]c,+\infty[\)

, dan geldt er:

\(\lim_{x\to c}f(x)=W \iff \lim_{x\downarrow c}f(x)=W \wedge\lim_{x\uparrow c}f(x)=W\)

Kijk eens naar de voorwaarden, het punt c moet een ophopingspunt zijn van de verzameling

\(A\cap]c,+\infty[\)

, wat duidelijk niet het geval is bij je voorbeeld uit post 1, want die verzameling is leeg. Dus je mag die stelling niet gebruiken.

Als je je afvraagt wat een ophopingspunt is, wil ik gerust even de definitie geven.

mcfaker123

Ah zo, een ophopingspunt klinkt als een punt met zowel links als rechts daarvan punten. Ik denk dat ik het nu doorheb. Bedankt voor uw hulp Flisk & aadkr!

Flisk

aadkr schreef: volgens mij heeft mcfacer123 gewoon gelijk

Ik heb hier twee verschillende analyse cursussen liggen die dat tegenspreken. In die van mijn huidige studie stond het niet expliciet vermeld, maar je kon het wel uit de definities en stellingen afleiden (zie post 7). In de cursus die gegeven wordt aan de wiskundigen aan de universiteit Gent staat zelfs volgende stelling:

De functie f is continu over [a,b] deelverzameling van dom(f) als voldaan is aan:
1) f is continu in [a,b]
2) f is rechtscontinu in a
3) f is linkscontinu in b

Je wil natuurlijk dat f continu is over heel zijn domein, want dan pas kan je zeggen dat f continu is in elk punt, nu staat er enkel continuïteit in [a,b]. Hoe de stelling er nu staat, kan je dus nog maar weinig besluiten (zie post 3, waar deze stelling ook geldt). Maar als het domein samenvalt met [a,b], is dat probleem opgelost en krijg je continuïteit in elk punt...

Ik zal eens een correcte epsilon delta definitie geven voor continuïteit:
f is continu in a als:

\(\forall\epsilon >0, \exists\delta >0, \forall x \in dom(f): |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon\)

Het cruciale hier is die derde uitdrukking:

\(\forall x \in dom(f)\)

, in het eerste voorbeeld is f niet gedefinieerd in x>3, en behoort x>3 niet tot het domein. Het is dan niet zo moeilijk in te zien dat linkscontinuïteit dan ook continuïteit impliceert. De rechterkant maakt niets uit, want de functie is daar niet gedefinieerd.

mcfaker123

Flisk bedankt voor uw uitgebreide uitleg. Ik heb het nu helemaal door! Ik ga de link van deze thread in mn documenten opslaan in geval dat ik het weer vergeet. Nogmaals bedankt!

In physics I trust

Ik kan overigens Flisk's argumentatie bevestigen.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] continuiteit

continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit

Re: continuiteit