We weten dat de Lorentzcontractie plaats heeft in de richting van de beweging, en dat er loodrecht op de bewegingsrichting geen contractie plaats heeft. Maar wat gebeurt er in alle andere richtingen? Zijn daar ook formules voor?
Meer in het bijzonder ben ik geïnteresseerd in het volgende geval:
We hebben twee identieke meetlatten M1 en M2 met gelijke rustlengte L0. Deze meetlatten plaatsen we in een inertiaal referentiestelsel S met hun lengterichting in dezelfde constante richting. De constante snelheden van M1 en M2 mogen naar grootte en richting verschillen, maar we nemen wel aan dat de componenten van hun snelheden in de lengterichting van M1 en M2 gelijk zijn. Verder passeren de middelpunten van M1 en M2 op t=0 de oorsprong O van S. Zullen de twee meetlatten elkaar dan op t=0 precies bedekken?
Laatste berichten
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Moderator: physicalattraction
-
- Berichten: 1.404
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Bartjes,
het antwoord (indien ik je vraag goed heb begrepen) is ja. Je kan de snelheid immers steeds ontbinden in een component in de richting van je meetlat een een component loodrecht op die richting. Aangezien de eerste component voor beide latten hetzelfde is , is ook de contractie hetzelfde. hun breedte (contactie door de loodrechte component zal echter el wijzigen.
het antwoord (indien ik je vraag goed heb begrepen) is ja. Je kan de snelheid immers steeds ontbinden in een component in de richting van je meetlat een een component loodrecht op die richting. Aangezien de eerste component voor beide latten hetzelfde is , is ook de contractie hetzelfde. hun breedte (contactie door de loodrechte component zal echter el wijzigen.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"
"Blauw"
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
peterdevis schreef: Bartjes,
het antwoord (indien ik je vraag goed heb begrepen) is ja. Je kan de snelheid immers steeds ontbinden in een component in de richting van je meetlat een een component loodrecht op die richting. Aangezien de eerste component voor beide latten hetzelfde is , is ook de contractie hetzelfde. hun breedte (contactie door de loodrechte component zal echter el wijzigen.
Het ontbinden van de snelheid zal wel lukken. In eerste instantie leek het mij ook vanzelfsprekend dat het is zoals je beschrijft, maar later begon ik te twijfelen. Het lukte mij ook niet om te bewijzen dat de totale contractie mag worden gezien als een combinatie van de contracties ten gevolge van de onderling loodrechte snelheidscomponenten. Ik kon elders ook geen bewijs vinden.
-
- Berichten: 2.906
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Als je een rechthoekig object hebt, waarvan de twee zijden die in de x-richting liggen een bepaalde snelheid v hebben, en de twee zijden die in de y-richting liggen snelheid w hebben, dan kun je de gecontraheerde lengtes van deze zijden uitrekenen.
Vervolgens kun je met de stelling van Pythagoras de lengte van de diagonaal van de rechthoek uitrekenen.
De stelling van Pythagoras kun overigens bewijzen uit het feit dat de ruimte symmetrisch is onder spiegelingen.
En het feit dat de ruimte inderdaad symmetrisch is onder spiegelingen is één van de meest fundamentele axioma's van de natuurkunde. Ik heb geen idee of dit ooit expliciet getest is in een experiment, maar je kunt zo na gaan dat in elk geval in het dagelijks leven de ruimte daar inderdaad bij grote benadering aan voldoet (als ik een voetbal naar rechts schop gebeurt er hetzelfde als wanneer ik hem naar links schop, maar dan gespiegeld).
Vervolgens kun je met de stelling van Pythagoras de lengte van de diagonaal van de rechthoek uitrekenen.
De stelling van Pythagoras kun overigens bewijzen uit het feit dat de ruimte symmetrisch is onder spiegelingen.
En het feit dat de ruimte inderdaad symmetrisch is onder spiegelingen is één van de meest fundamentele axioma's van de natuurkunde. Ik heb geen idee of dit ooit expliciet getest is in een experiment, maar je kunt zo na gaan dat in elk geval in het dagelijks leven de ruimte daar inderdaad bij grote benadering aan voldoet (als ik een voetbal naar rechts schop gebeurt er hetzelfde als wanneer ik hem naar links schop, maar dan gespiegeld).
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Laten we het geval concreet maken:
Nu kan je de contractie op twee manieren berekenen:
1. Bereken de horizontale en verticale contractie aan de hand van de horizontale en verticale snelheidscomponenten afzonderlijk.
2. Bereken eerst de contractie in de bewegingsrichting, en bereken vervolgens de componenten van die contractie in de horizontale en verticale richting.
Daar zou hetzelfde uit moeten komen, maar mij lukt dat niet. Nu ben ik benieuwd of anderen daarmee ook in de problemen komen...
- scheve-contractie.GIF (4.25 KiB) 930 keer bekeken
Nu kan je de contractie op twee manieren berekenen:
1. Bereken de horizontale en verticale contractie aan de hand van de horizontale en verticale snelheidscomponenten afzonderlijk.
2. Bereken eerst de contractie in de bewegingsrichting, en bereken vervolgens de componenten van die contractie in de horizontale en verticale richting.
Daar zou hetzelfde uit moeten komen, maar mij lukt dat niet. Nu ben ik benieuwd of anderen daarmee ook in de problemen komen...
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Laat:
b = x2 - x1 (de breedte van de meetlat) ,
l = y2 - y1 (de lengte van de meetlat) .
De breedte en lengte van de meetlat voor
Dan zou er volgens rekenwijze 1. moeten gelden:
Rekenwijze 2. gaat uit van de plakjes P met lengte p. Zie:
De lengte van die plakjes voor
Nu zou moeten gelden:
Dat komt niet overeen met het resultaat van rekenwijze 1.
En verder:
En dat komt ook niet overeen met het resultaat van rekenwijze 1.
Waarschijnlijk bega ik een gruwelijke domheid. Wie ziet de fout?
b = x2 - x1 (de breedte van de meetlat) ,
l = y2 - y1 (de lengte van de meetlat) .
De breedte en lengte van de meetlat voor
\( \vec{v} = \vec{0} \)
duiden we met respectievelijk b0 en l0 aan. We nemen aan dat de meetlat veel langer dan breed is.Dan zou er volgens rekenwijze 1. moeten gelden:
\( b = b_0 . \sqrt{1 - (u/c)^2} \)
\( l = l_0 . \sqrt{1 - (w/c)^2} \)
Rekenwijze 2. gaat uit van de plakjes P met lengte p. Zie:
- plakje-p.GIF (5.01 KiB) 884 keer bekeken
De lengte van die plakjes voor
\( \vec{v} = \vec{0} \)
duiden we met p0 aan. Zodat we hebben:\( p = p_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2} \)
Nu zou moeten gelden:
\( b = p . \cos \varphi \)
\( b = p_0 . \cos \varphi . \sqrt{1 - (v/c)^2} \)
\( b = b_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2} \)
.Dat komt niet overeen met het resultaat van rekenwijze 1.
En verder:
\( \frac{l}{l_0} = \frac{p}{p_0} \)
\( \frac{l}{l_0} = \sqrt{1 - (v/c)^2} \)
\( l = l_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2} \)
En dat komt ook niet overeen met het resultaat van rekenwijze 1.
Waarschijnlijk bega ik een gruwelijke domheid. Wie ziet de fout?
-
- Berichten: 2.906
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Ik denk dat het eenvoudiger is om aan te nemen dat v in de x-richting ligt (dus er is geen contractie in de y-richting) en dan in beide stelsels de lengte van de diagonaal van de rechthoek te berekenen (i.e. de lijn van het punt (x1,y1) naar het punt (x2,y2) ).
Ik heb zo'n vermoeden dat je met jouw methode in de problemen kan komen omdat de hoek phi ook wel eens zou kunnen transformeren (heb geen tijd nu om daar echt goed naar te kijken, dus misschien heb ik het mis).
Ik heb zo'n vermoeden dat je met jouw methode in de problemen kan komen omdat de hoek phi ook wel eens zou kunnen transformeren (heb geen tijd nu om daar echt goed naar te kijken, dus misschien heb ik het mis).
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
- Berichten: 235
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Bartjes,
ik heb geen tijd om het in detail te bekijken, maar opletten met sleutelen aan snelheden per SRT. Vergeet Einstein's formule voor samenstellen/optellen van snelheden niet.
Ik gooi het hier maar in het midden.
Proficiat voor de schetsjes.
ik heb geen tijd om het in detail te bekijken, maar opletten met sleutelen aan snelheden per SRT. Vergeet Einstein's formule voor samenstellen/optellen van snelheden niet.
Ik gooi het hier maar in het midden.
Proficiat voor de schetsjes.
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
@ VDammer
Graag wat specifieker: waar gaat het precies fout?
Graag wat specifieker: waar gaat het precies fout?
-
- Moderator
- Berichten: 8.166
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Math-E-Mad-X: omdat de hoek phi ook wel eens zou kunnen transformeren
Dat zou ik denken, net zoals bij relativistische aberratie het geval is. Kijk eens in attached paper van Florentin Smarandache.
In this paper one generalizes the Lorentz Contraction Factor for the case when the lengths are moving at an oblique angle with respect to the motion direction. One shows that the angles of the moving relativistic objects are distorted.
Mogelijk is deze site ook behulpzaam.
- Bijlagen
-
- progress in physics jan 2013.pdf
- (229.53 KiB) 121 keer gedownload
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Dank voor de reacties! Het zal 'm inderdaad in die hoekverandering zitten.
Als we ervan uitgaan dat er bij (ongehinderde) Lorentzcontractie intern geen spanningen optreden kan je de deformatie van een schuin geplaatste meetlat ook vinden door deze op te vatten als deel van een in de bewegingsrichting geplaatst blok. Zie:
Dus:
Als we ervan uitgaan dat er bij (ongehinderde) Lorentzcontractie intern geen spanningen optreden kan je de deformatie van een schuin geplaatste meetlat ook vinden door deze op te vatten als deel van een in de bewegingsrichting geplaatst blok. Zie:
- deformatie.GIF (15.15 KiB) 882 keer bekeken
Dus:
\( l(v) = \sqrt{ l^2(v)} \)
\( l(v) = \sqrt{ l^2(v) . (\cos^2 \varphi(v) + \sin^2\varphi(v))} \)
\( l(v) = \sqrt{ l^2(v) . \cos^2\varphi(v) \,\, + \,\, l^2(v) . \sin^2\varphi(v))} \)
\( l(v) = \sqrt{(1 - (v/c)^2) . l_0^2 . \cos^2\varphi_0 \,\, + \,\, l_0^2 . \sin^2\varphi_0)} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{(1 - (v/c)^2) . \cos^2\varphi_0 \,\, + \,\, \sin^2\varphi_0)} \,\,\, .\)
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
We hebben nu l(v) als functie van v en :fi: 0 . Wat ik uiteindelijk zoek is een formule voor l(v) als functie van v en een zelf te kiezen eindhoek :fi: = :fi:(v) (met
\( 0 \leq \varphi \leq \pi/2 \)
). Daarom moeten we de zaak nog wat verder uitwerken. We zien dat:\( l(v) . \sin \varphi = l_0 . \sin \varphi_0 \)
\( \sin \varphi = \frac{l_0}{l(v)} .\sin \varphi_0 \)
\( \varphi = \arcsin \left ( \frac{l_0}{l(v)} .\sin \varphi_0 \right ) \)
\( \varphi = \arcsin \left ( \frac{\sin \varphi_0}{\sqrt{(1 - (v/c)^2) . \cos^2\varphi_0 \,\, + \,\, \sin^2\varphi_0}} \right ) \,\,\, .\)
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Uit onderstaande plaatje:
zien we dat:
- deformatie-hoeken.gif (15.72 KiB) 880 keer bekeken
zien we dat:
\( \tan \varphi(v) = \frac{Y(v)}{X(v)} \)
\( \tan \varphi(v) = \frac{Y_0}{\sqrt{1 - (v/c)^2} . X_0} \)
\( \tan \varphi(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} . \frac{Y_0}{X_0} \)
\( \tan \varphi(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} . \tan \varphi_0 \)
\( \tan \varphi_0 = \sqrt{1 - (v/c)^2} . \tan \varphi(v) \)
\( \varphi_0 = \arctan \left ( \sqrt{1 - (v/c)^2} . \tan \varphi(v) \right ) \,\, . \)
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
Nu kunnen we de formules samenvoegen:
\( l(v) = l_0 . \sqrt{(1 - (v/c)^2) . \cos^2\varphi_0 \,\, + \,\, \sin^2\varphi_0} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{\cos^2\varphi_0 - (v/c)^2 . \cos^2\varphi_0 \,\, + \,\, (1 - \cos^2\varphi_0)} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2 . \cos^2\varphi_0} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2 . \frac{\cos^2\varphi_0}{\cos^2 \varphi_0 + \sin^2 \varphi_0}} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - (v/c)^2 . \frac{1}{1 + \frac{\sin^2 \varphi_0}{\cos^2\varphi_0}}} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - \frac{(v/c)^2}{1 + \tan^2 \varphi_0}} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - \frac{(v/c)^2}{1 + \tan^2 \left (\arctan \left ( \sqrt{1 - (v/c)^2} . \tan \varphi(v) \right ) \right )}} \)
\( l(v) = l_0 . \sqrt{1 - \frac{(v/c)^2}{1 + (1 - (v/c)^2) . \tan^2 \varphi(v) }} \,\, . \)
Code: Selecteer alles
Re: Scheve Lorentzcontractie - welke formule?
In onderstaande met het programma Graph gemaakte plaatje staat de lengte van de meetlat (in de grafiek y) aangegeven als functie van de eindhoek (in de grafiek x) bij l0 = 1 en v/c = 0,9.
Bij berekening via de formule uit het vorige berichtje vinden we de rode grafiek en bij berekening via de snelheidscomponent in de (uiteindelijke) lengterichting vinden we de groene grafiek. Die grafieken zijn verschillend!
Ik ben uitgegaan van de Lorentz-FitzGeraldcontractie waarbij de contractie in de bewegingsrichting plaats heeft. Daaruit lijkt dus te volgen dat de snelle methode van berekening via de snelheidscomponent in de (uiteindelijke) lengterichting onjuist is. Anderzijds lijkt het ook niet waarschijnlijk dat het door nagenoeg iedereen fout gedaan wordt. - Wat is er hier aan de hand?
- grafiekjes.GIF (6.75 KiB) 880 keer bekeken
Bij berekening via de formule uit het vorige berichtje vinden we de rode grafiek en bij berekening via de snelheidscomponent in de (uiteindelijke) lengterichting vinden we de groene grafiek. Die grafieken zijn verschillend!
Ik ben uitgegaan van de Lorentz-FitzGeraldcontractie waarbij de contractie in de bewegingsrichting plaats heeft. Daaruit lijkt dus te volgen dat de snelle methode van berekening via de snelheidscomponent in de (uiteindelijke) lengterichting onjuist is. Anderzijds lijkt het ook niet waarschijnlijk dat het door nagenoeg iedereen fout gedaan wordt. - Wat is er hier aan de hand?
