Volgende opgave ben ik mee bezig:
Bewijs met volledige inductie dat voor alle
\(n \geq 1\)
\(\sum_{i=1}^{n} i \cdot (i!) = (n+1)! -1\)
Eerst de basisstap, namelijk aantonen dat het voor S(n) n=1 klopt. De uitkomst is 1, dus dit is in orde.Vervolgens stel ik dat
\( k \geq 1\)
dat betekent:\(\sum_{i=1}^{k} i \cdot (i!) = (k+1)! -1\)
Dit is de inductieveronderstelling.
Ik kom ook tot het punt waarop ik weet wat er van mij wordt verwacht. Ik moet aantonen dat:
\(\sum_{i=1}^{k + 1} i \cdot (i!) = ((k+1) + 1)! -1\)
En dat leidt ertoe dat ik moet aantonen dat:
\(\sum_{i=1}^{k + 1} i \cdot (i!) = (k+2)! -1\)
Het begin daarvan gaat ook nog prima:
\(\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot (i!) = \sum_{i=1}^{k}i \cdot (i!) + (k+1) \cdot (k+1)\)
Vervolgens neem ik het deel waar nu nog i wordt gebruikt en vervang dat voor het deel zoals ik dat weet uit eerder werk. Dat geeft:
\((k+1)! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)!\)
Hier loop ik echter vast, ik weet namelijk niet goed hoe ik de termen met faculteiten en dergelijke weg moet werken (dat is vraag 1). Daarnaast weet ik ook niet hoe ik het eindresultaat van mijn bewijs (dus wanneer ik de veronderstelling heb bereikt) zo dien te noteren, dat dit in orde is (vraag 2).
Alvast bedankt voor de hulp,
Dennis.
