Springen naar inhoud

Berekening centripetale kracht: met welke straal?



  • Log in om te kunnen reageren

#1

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 juni 2014 - 10:44

Ik kom weer eens met een vraagstuk uit Schweers en Vianen aanzetten. Het is overigens een examenopgave uit 1960! Eerst de opgave letterlijk overgenomen:

 

De as van een rechte, cilindervormige buis, waarvan de afmeting van de doorsnede verwaarloosd wordt, maakt een hoek van 45° met de naar boven gerichte verticaal door het laagste punt A van de buis. De buis is van binnen ruw en wentelt met een hoeksnelheid ω om de verticaal door A. In deze buis bevindt zich een puntmassa van m kg; dit punt blijft op een afstand van ¼√2 meter van A in rust ten opzichte van de buis. g = 10 m/sec2.

 

a. Bereken de hoeksnelheid in rad/s waarmee men de buis moet laten wentelen voor het geval dat de wrijvingsweerstand tussen P en de buis juist nul is.

 

b. Als ω = 4 rad/s, is P op het punt in de richting van A te gaan glijden. Bereken de wrijvingscoëfficiënt voor de wrijving tussen P en de buis.

 

 

Ik heb er de volgende tekening bijgemaakt:

 

SenW-opg133.JPG

 

 

Antwoord op deel a:

 

De wrijvingsweerstand is 0, dus als de buis in rust is alleen de zwaartekracht op P relevant. De zwaartekracht heb ik Fz genoemd en is gelijk aan 10m. De component daarvan die langs de buis ‘loopt’ is Ft en is 5√2.m (ofwel 10m.sin 45°).

 

Als de buis lustig in het rond gaat draaien krijgt P uiteraard snelheid en om P in rust te houden moet volgens mij de centripetale kracht Fc gelijk zijn aan Ft.

Fc = m.v2/r = 5√2.m. Aangezien r = ¼√2 volgt hieruit dat v2 = 2,5 en dus v = ½√10 m/sec.

Maar men vraagt niet de lineaire snelheid maar de hoeksnelheid. Welnu, de afstand tussen P en de buis (dat wil zeggen de straal van de cirkel die P ‘in de ruimte’ beschrijft) is gelijk aan ¼ meter, dus de hoeksnelheid komt dan uit om ½√10/¼ = 2√10 rad/s ofwel 6,3 rad/s.

Dat is ook precies het antwoord in het antwoordenblad van Schweers en Vianen.

 

‘Hoera’, dacht ik, nu deel b.

 

Maar daar kwam ik niet goed uit. Vanwege de wrijving verandert de vergelijking uit deel a Fc = Ft nu in:

Fc = Ft -/- Fw terwijl uiteraard Fw = f.Fn. Verder geldt: Fn = Fz.cos 45° ofwel 5√2.m. (f is de gevraagde wrijvingscoëfficiënt).

 

Dus alles bijeengenomen:

m.v2/r = 5√2.m -/- f.5√2.m

of iets simpeler met wegstrepen van m: v2/r = 5√2 -/- f.5√2

 

En nu komt het: als ik voor de lineaire snelheid ω x r uitga van een r van ¼ meter (zijnde de afstand tussen P en de verticale as, v wordt dan dus 1 m/s) en diezelfde r ook invul in de bovenstaande vergelijking dan kom ik keurig op het antwoord van Schweers en Vianen nl. een wrijvingscoëfficiënt van 3/7 = 0,43.

Maar niet als je, zoals ik eerst deed, uitgaat van r = ¼√2 (de afstand tussen A en P) terwijl dat wel werkt bij opgave a.

 

Ik kwam dat al meer tegen bij opgaven waar een puntmassa die vastzit aan een koord horizontaal een cirkel beschrijft. Als dat koord een hoek maakt t.o.v. het platte vlak dan staat mij niet scherp voor ogen of dat je voor de berekening van de centripetale kracht de lengte van het koord moet nemen dan wel de straal van de op het platte vlak geprojecteerde cirkel. Met het antwoordenblad van Schweers en Vianen kom ik er wel uit welke van de twee is genomen, maar ik wil het begrijpen.

 

Ik hoop dat ik het zo duidelijk heb weergegeven; ergens ga ik kennelijk in de fout, maar waar??


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44845 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 juni 2014 - 12:45

Opmerking moderator :

Iemand die hier een handje kan toesteken?

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Margriet

    Margriet


  • >1k berichten
  • 2137 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 juni 2014 - 17:59

Bij a. De richting van Fc is niet juist.  P beschrijft een cirkel met straal 1/4. De cirkel ligt in het horizontale vlak (denk aan een droogmolen).  Fc ligt in het vlak van de cirkel en staat dus loodrecht op de vertikale as.

Vanuit P een vector horizontaal naar links getekend. En er geldt bij een hoek van 45° dat  Fz = Fc en mg =m ω2r.


#4

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 15 juni 2014 - 03:48

Die examens zijn behoorlijk veranderd in 54 jaar. "In deze buis bevindt zich een puntmassa van m kg" vind je niet meer terug in de examens van tegenwoordig. Ik denk terecht: alleen de meest getalenteerde VWO leerlingen kunnen zich iets voorstellen bij een abstracte  een puntmassa in een reële buis. Verder is het niveau van de examens in NL er niet op vooruitgegaan zo te zien. Dat geeft wel te denken. Misschien moeten we Sweers en Vianen toch maar weer invoeren. Ik ken de methode want ik had die vroeger ook op school en mij beviel het wel.

 

 

Als dat koord een hoek maakt t.o.v. het platte vlak dan staat mij niet scherp voor ogen of dat je voor de berekening van de centripetale kracht de lengte van het koord moet nemen dan wel de straal van de op het platte vlak geprojecteerde cirkel. Met het antwoordenblad van Schweers en Vianen kom ik er wel uit welke van de twee is genomen, maar ik wil het begrijpen.

 

Dit vind ik een belangrijke opmerking.

 

De middelpuntzoekende kracht is afhankelijk van de straal van de cirkel die het object beschrijft. Die straal van de cirkel is niet de lengte van het touw want het touw beweegt langs een kegel en de cirkel is de begrenzing van het grondvlak van de kegel. (dit is niet helemaal exact geformuleerd maar ik denk dat je dit op deze manier wel begrijpt).

 

De middelpuntzoekende kracht wordt geleverd door de spankracht van het touw. Als het touw een hoek heeft met het horizontale vlak, is de middelpuntzoekende kracht de horizontale component van de spankracht. De middelpuntzoekende kracht is immers per definitie voortdurend gericht naar het middelpunt van de cirkel die het object beschrijft (we nemen even aan dat die cirkel in het horizontale vlak ligt).

 

Als er zwaartekracht is, moet deze zwaartekracht worden opgeheven door de verticale component van de spankracht in het touw. Dat is de reden dat het touw niet horizontaal is.

 

De richting van het koord wordt dus bepaald door de verhouding tussen Fz  en Fmpz want de richting van spankracht in het koord is altijd de richting van het koord zelf.

 

Hopelijk helpt dit. Meld het maar even als je meer uitleg nodig hebt om dit te begrijpen.


#5

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 juni 2014 - 09:34

Ok, mag ik het ook zo formuleren dat de centripetale kracht altijd loodrecht op de draaias staat? Ik heb deel a van het vraagstuk nu adhv de reactie van Margriet opnieuw berekend. Dat gaat dan als volgt:

 

10m = m.v2/r

10 = v2/¼ en ziedaar: v = ½√10 en de hoeksnelheid is v/r dus 2√10. Daarmee ben ik dus weer een stap verder.

 

Maar ook dan kom ik er bij b., waar nu ook de wrijving een rol gaat spelen, nog niet goed uit. Ik heb als volgt geredeneerd:

 

a. De zwaartekracht wordt tegengewerkt door de wrijvingskracht, netto effect is dus: Fz -/- Fw

b. De totale kracht die dit netto effect moet 'neutraliseren' is de centripetale kracht plus de wrijvingskracht:  Fc + Fw

c. De vergelijking wordt dan: Fz -/- Fw = Fc + Fw

 

De wrijvingskracht had ik al eerder berekend als: Fw = f.Fn en Fn = Fz.cos 45° ofwel 5√2.m

 

De snelheid is 4 rad/s dus met een r van ¼ is dat een baansnelheid van 1.

 

Dus krijgen we

 

10m -/- 5√2.m.f = m.12/¼ + 5√2.m.f ofwel eenvoudiger: 10 -/- 7f4 + 7f waaruit volgt dat f = 6/14 ofwel 3/7 en dat geeft ook het antwoordenblad van Schweers en Vianen.

 

Toch heb ik hier nog geen goed gevoel over want die wrijvingskracht 'loopt' ahw langs de buis in een hoek van 45°. En ik meen begrepen te hebben dat als je krachten met elkaar in relatie brengt je die krachten wel moet herleiden tot één consistent assenstelsel. Volgens mij is dat in de bovenstaande rekensom niet het geval.

 

Ik kom op de reactie van Anton_v_U nog terug.

 

 

 

 


#6

Margriet

    Margriet


  • >1k berichten
  • 2137 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 juni 2014 - 15:26

Het is heel lastig of misschien wel onmogelijk om dit in één krachtenstelsel op te lossen. Daarom stel ik voor dit in tweeën te plitsen. Laten we beginnen met Fc en daarna pas kijken naar Fw.

 

Bij a had je Fz = Fc=10m en Fn = 10√2m. En de resulterende kracht was 0.

 

Nu bij vraag b. met Fz=10m en ω=4 is er wel een resulterende kracht.

 

Bereken eens Fc en Fn. En wat wordt dan de resulterende kracht op de puntmassa? 

 

Over de richting van Fc in het algemeen, later.


#7

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 juni 2014 - 20:43

Voor Fc kom ik nu op een waarde van 4m (m x 16 x ¼). Voor Fn kom ik er nog niet uit en dat heeft, vermoed ook te maken dat ik onderstaand citaat nog niet helemaal begrijp. Voor ik verder ga wil ik dus eerst proberen dit wel te begrijpen:

 

 

Bij a had je Fz = Fc=10m en Fn = 10√2m. En de resulterende kracht was 0.

 

en dan met name het laatste zinnetje.

Dat de resulterende kracht 0 is verrast mij. Die puntmassa is weliswaar t.o.v. de buis in rust maar draait t.o.v. 'de rest van de wereld' in het rond en ondervindt dus voortdurend een middelpuntzoekende versnelling. Ik heb ook nog geprobeerd de drie genoemde krachten in een assenstelsel uit te zetten volgens dit procedé:

 

SenV_III_fig24a.JPG

 

Maar dan kom ik niet op een resultante van 0.

 

 


#8

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44845 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 16 juni 2014 - 21:49

..

Maar niet als je, zoals ik eerst deed, uitgaat van r = ¼√2 (de afstand tussen A en P) terwijl dat wel werkt bij opgave a.

..

 

"Als de buis lustig in het rond gaat draaien krijgt P uiteraard snelheid en om P in rust te houden moet volgens mij de centripetale kracht Fc gelijk zijn aan Ft.

Fc = m.v2/r = 5√2.m. Aangezien r = ¼√2 volgt hieruit dat v2 = 2,5 en dus v = ½√10 m/sec."

Wat je hier overkomt zijn twee elkaar compenserende fouten, waardoor je goed uitkomt.

Fout 1: jij noemt de kracht Ft langs de bewegingsrichting van P naar A de centripetale kracht. Dat is niet juist. In je afleiding vind je voor Fc dan ook een √2 keer te grote middelpuntzoekende kracht

Fout 2 : dat compenseer je dan doordat je straal ook √2 keer te groot wordt, door deze schuin te nemen.

Fc = mω²r , zowel Fc als r zijn √2 keer zo groot als ze horen te zijn, en je vindt dus dezelfde ω

 

 

vissera.gif

 

verticaal hoort er krachtevenwicht te zijn.

ik heb dus een verticale kracht(component) nodig om Fz te compenseren. 

dat kan slechts de verticale component zijn van de normaalkracht. 

pythagoras in een driehoek met hoeken van 45°. 

dus is Fn √2 keer zo groot als Fz. 

we zoeken Fc, loodrecht op de draaiingsas, dwz in het baanvlak van P. 

dat is de horizontale component van Fn, √2 keer zo klein als Fn en dus  precies even groot als Fz. 

Fz=Fc

m·g =  mω²r

massa valt weg, g = 10 m/s², pythagoras geeft  r = ¼ m , de rest is algebra. 

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#9

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 juni 2014 - 19:40

Wat je hier overkomt zijn twee elkaar compenserende fouten, waardoor je goed uitkomt.

 

 

Soms maak je met een kromme stok toch een rechte slag :). Maar ik begrijp nu in elk geval het eerste deel van het vraagstuk.

Maar de opmerking van Margriet

 

 

Bij a had je Fz = Fc=10m en Fn = 10√2m. En de resulterende kracht was 0.

 

en dan met name het laatste zinnetje kan ik nog niet goed plaatsen.


#10

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 juni 2014 - 21:52

Inmiddels denk ik dat ik een oplossing heb voor deel b van het vraagstuk, nl het berekenen van de wrijvingscoëfficiënt.

 

Fz=10m en ω=4, r = ¼, zodat Fc = 4 x ¼ x m = 4m.

 

Fn blijft volgens mij wat het was nl. 10√2. En verder is Fw gelijk aan f x Fn.

 

Fz = Fc + Fw

 

10m = 4m + f.10√2m ofwel: 10 = 4 +  10√2.f  ofwel 6 = 14.f en f is dus 3/7.

 

Ik voel me alleen nog wat ongemakkelijk bij het 'zomaar' rekenen met Fw, het is een vector die in een hoek van 45° staat t.o.v. Fc !?


#11

Margriet

    Margriet


  • >1k berichten
  • 2137 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 17 juni 2014 - 21:57

Reactie op bericht 9.

 

Fz is de kracht die de puntmassa, P uitoefent op de schuine buis.

Fc is de kracht die de buis uitoefent op de puntmassa om in de bocht te blijven.

Contrueer nu eens Fr = Fz-Fc.

 

En welke kracht heft nu Fr op?

 

Fc-5.jpg

Veranderd door Margriet, 17 juni 2014 - 21:59


#12

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 juni 2014 - 10:51

Is dit wat je bedoelt:

 

Fc-5-1.jpg ?

 

Als je antwoord 'ja' is, dan zou mijn volgende reactie zijn: OK, maar dat is wiskunde. Ik probeer nu deze grootheden concreet te maken:

 

Fz = de zwaartekracht - daar heb ik een concreet beeld bij

Fc = de middelpuntzoekende kracht - idem

Fn = de normaalkracht, de reactiekracht die de buis uitoefent P, kan ik ook begrijpen

maar wat moet ik me concreet voorstellen bij Fr, heb je daar een goede naam voor?

 

Als de pijlen die ik heb getekend niet juist zijn dan hoor ik het ook wel.

 

 

 

 

 

 


#13

Margriet

    Margriet


  • >1k berichten
  • 2137 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 juni 2014 - 12:47

Als je op een sneldraaiende molen met een hekje staat word je tegen het hekje gedrukt. Als het hekje niet breekt is de kracht van het hekje op jou (Fcp) gelijk en tegengesteld aan de kracht van het jou op het hekje (Fcf). Zelfde voor de puntmassa. Ik heb nu voor de puntmassa Fcp er ook bij getekend.

 

Fr is nu de resultante van de krachten die de puntmassa op de buis uitoefent. Andere naam weet ik niet.

 

En Fn is de resultante van de krachten die de buis op de puntmassa uitoefent.

 

 

Fc-6.jpg

 

 

 


#14

wgvisser

    wgvisser


  • >25 berichten
  • 64 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 juni 2014 - 07:04

Bedankt, ik kan nu het zinnetje

 

En de resulterende kracht was 0.

 

uit bericht 6 plaatsen.

 

Volgens kunnen we nu naar deel b van de opgave en ik ben nu wel benieuwd wat u vindt van mijn poging in bericht nr. 10. Zoals eerder: ik kom wel op het juiste antwoord uit maar of ik er weer langs de juiste weg ben gekomen?


#15

Margriet

    Margriet


  • >1k berichten
  • 2137 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 19 juni 2014 - 10:33

Bij bericht 10 blijf ik steken bij Fn = 10√2.m .

 

Fc=4m dat is correct. En Fc is, geheel overeenkomstig opgave a, de horizontale component van Fn.

 

Construeer nu Fn en de vertikale component van Fn.

 

En wat is nu de resulterende kracht op P? (Fw dus nog even buiten beschouwing gelaten)

Veranderd door Margriet, 19 juni 2014 - 10:33







Also tagged with one or more of these keywords: natuurkunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures