Springen naar inhoud

limiet van functie van meerdere veranderlijken



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 09:29

Gegeven de functie:

 

f(x,y) = (x4 + y4)/(x2 + y2)

 

bestaat de limiet in (0,0) ? bewijs indien mogelijk met epsilon-delta

 

ik heb deze functie geplot met wiskundesoftware, en deze lijkt mij wel een limiet te hebben in het punt (0,0)

 

pr004.png

 

ik heb echter al op verschillende manieren proberen het epsilon-delta bewijs op te stellen, maar het lukt me niet..

 

bestaat er volgens jullie wel een limiet in (0,0)? en zoja, hoe zouden jullie het epsilon-delta bewijs aanpakken?

 

alvast bedankt!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1759 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 09:40

Heb je al een tranformatie geprobeerd?

 

De noemer nodigt uit om op bolcoordinaten of cilinder coordinaten over te stappen.

 

Maar mischien is dat niet toegestaan volgens de opgave?

Veranderd door tempelier, 14 juni 2014 - 09:47

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 09:47

bij het berekenen van limieten hebben we nooit gezien dat we op bolcoördinaten kunnen overstappen..


#4

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1759 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 09:55

bij het berekenen van limieten hebben we nooit gezien dat we op bolcoördinaten kunnen overstappen..

Cilinder coordinaten lijkt me de beste van de twee.

 

Maar bedoel je dat je dat niet gehad hebt of dat er geen voorbeelden mee gemaakt zijn?

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#5

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 10:15

we hebben enkel cilindercoordinaten gezien bij meervoudige integratie..


#6

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1759 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 10:29

Lijkt mij dat je dan mag transformeren, want als je over deze functie zou integreren dan zou je dat ook gedaan hebben.

Dus wat let je?

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#7

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 juni 2014 - 10:32

het lijkt niet zo moeilijk te zijn uiteindelijk:

 

|f(x,y) - 0| = |(x4 + y4)/(x2 + y2)| <= |(x4 + y4 + 2*x2*y2)/(x2 + y2)| <= (x2 + y2)2/(x2 + y2) <= x2 + y2

 

kies nu delta = sqrt(epsilon)

 

dan geldt:

 

als | (x,y) - (0,0) | < delta => |f(x,y) - 0| < delta2 < epsilon

 

dit klopt volgens mij


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 juni 2014 - 12:15

Prima! 

 

Bij gegeven epsilon kies je delta=...


#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 14 juni 2014 - 12:50

Misschien heb  je wat aan volgende ongelijkheden, die vaak handig zijn bij het oplossen van zulke vraagstukken:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Dezelfde formules gelden als je overal x omwisselt met y. Daarnaast moet je ook soms gebruik maken van Cauchy Schwarz en de driehoeksongelijkheid (staan wel in je cursus).

 

Als je epsilon delta bewijzen doet i.v.m. continuïteit, kan het soms ook handig zijn om op voorhand een maximum grens op te leggen voor delta. Dit is o.a. nodig indien je wilt bewijzen dat volgende functie continu is in een willekeurig punt a van het domein: LaTeX

Noem p een punt in een delta omgeving van a, dan zul je tijdens epsilon delta bewijs op een bepaald moment |p| in de noemer krijgen.

Je kan dan bijvoorbeeld zeggen:

LaTeX

Waarna je |p| in de noemer kan vervangen door |a|/2. Het is ook logisch dat je dit doet, je wilt immers niet dat |p| dicht bij nul komt, daar nadert de functie oneindig. Je moet dan wel op het einde opletten. Je komt een uitdrukking  LaTeX

uit i.f.v. epsilon. Als je delta begrensd hebt (hier |a|/2), moet je uitdrukkelijk stellen LaTeX

Veranderd door Flisk, 14 juni 2014 - 13:14

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures