Misschien heb je wat aan volgende ongelijkheden, die vaak handig zijn bij het oplossen van zulke vraagstukken:
\(|x|\leq\sqrt{x^2+y^2}\)
\(0\leq\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq 1\)
\(|x-a|\leq\sqrt{(x-a)^2+(y-a)^2}\)
Dezelfde formules gelden als je overal x omwisselt met y. Daarnaast moet je ook soms gebruik maken van Cauchy Schwarz en de driehoeksongelijkheid (staan wel in je cursus).
Als je epsilon delta bewijzen doet i.v.m. continuïteit, kan het soms ook handig zijn om op voorhand een maximum grens op te leggen voor delta. Dit is o.a. nodig indien je wilt bewijzen dat volgende functie continu is in een willekeurig punt a van het domein:
\(a\in\mathbb{R}^2, f(a)=f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
Noem p een punt in een delta omgeving van a, dan zul je tijdens epsilon delta bewijs op een bepaald moment |p| in de noemer krijgen.
Je kan dan bijvoorbeeld zeggen:
\(\delta\leq |\frac{a}{2}|\iff |p-a|\leq|\frac{a}{2}|\iff |a|-|p|\leq |\frac{a}{2}|\iff |p|\geq |\frac{a}{2}|\)
Waarna je |p| in de noemer kan vervangen door |a|/2. Het is ook logisch dat je dit doet, je wilt immers niet dat |p| dicht bij nul komt, daar nadert de functie oneindig. Je moet dan wel op het einde opletten. Je komt een uitdrukking
\(\delta_{\epsilon}\)
uit i.f.v. epsilon. Als je delta begrensd hebt (hier |a|/2), moet je uitdrukkelijk stellen
\(\delta=min(\delta_{\epsilon},|\frac{a}{2}|)\)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
