Bij het voorbeeld
\(\mathcal{L}[y]= -\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = f(x), 0 \leq x \leq 1\)
met randvoorwaarden \( y(0)=y(1)=0\) is het duidelijk.Het oplossen van
\(-\frac{\partial^2 G(x, \xi)}{\partial x^2}= \delta(x-\xi)\)
geeft:\(G_1 (x, \xi)= A_1 + B_1 \xi \text{ op } 0 \leq x < \xi \text{ en}\)
\(G_2 (x, \xi)= A_2 + B_2 \xi \text{ op }\xi < x \leq 1.\)
Door het invullen van de randvoorwaarden vind ik dat
\(A_1 = 0 \text{ en }A_2 + B_2 = 1;\)
uit de continuïteit volgt dat \(B_1 \xi = A_2(1-\xi).\)
Nu ga ik weer uit van
\(-\frac{\partial^2 G(x, \xi)}{\partial x^2}= \delta(x-\xi):\)
\(\int\limits_{\xi - \epsilon}^{\xi + \epsilon}-\frac{\partial^2 G(x, \xi)}{\partial x^2} \mathrm{d}x= \int\limits_{\xi - \epsilon}^{\xi + \epsilon}\delta(x-\xi)\mathrm{d}x = 1.\)
Als ik dan de limiet neem van \(\epsilon \to 0\)
vind ik dat:\(\left \frac{\partial G_1(x, \xi)}{\partial x} \right | _{x=\xi} - \left \frac{\partial G_2(x, \xi)}{\partial x} \right | _{x=\xi} = 1.\)
Hiermee vind ik dat de oplossing voor de Greense functie is:
\(G(x,\xi) = \left \{ \begin{array}{c c} G_1(x, \xi)=(1-\xi)x, &0 \leq x \leq \xi \\G_2(x, \xi)=(1-x)\xi, &\xi \leq x \leq 1 \end{array} \right .\)
De integraal over de delta-functie wordt de sprongconditie genoemd. In dit voorbeeld is het mij duidelijk hoe dit werkt.
Echter, wanneer ik deze probeer toe te passen op een operator van het Sturm-Liouville type loop ik vast:
\(\mathcal{L}[y]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left \{ p(x) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right \}+q(x)y = f(x)\)
met \( a \leq x \leq b.\)
Mijn Greense functie is dan als volgt:
\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left \{ p(x) \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} \right \}+q(x)G = \delta(x-\xi) .\)
Op dezelfde manier als net vind ik dat
\(G_1 (x, \xi)= A_1(\xi)y_I(x) \text{ op } a \leq x < \xi \text{ en}\)
\(G_2 (x, \xi)= A_2(\xi)y_2(x) \text{ op }\xi < x \leq b,\)
met y1 en y2 de oplossingen van de homogene differentiaalvergelijkingen met invulling van de randvoorwaarden.Uit de continuïteit volgt dat in
\(\xi:\)
\(A_1(\xi)y_1(\xi) = A_2(\xi)y_2(\xi).\)
Tot zover is alles duidelijk. Als ik nu de sprongconditie toe ga passen zou ik het volgende doen:
\(\int\limits_{\xi - \epsilon}^{\xi + \epsilon} \left ( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left \{ p(x) \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} \right \}+q(x)G \right ) \mathrm{d}x= \int\limits_{\xi - \epsilon}^{\xi + \epsilon}\delta(x-\xi)\mathrm{d}x = 1.\)
In mijn boek slaan ze deze stap over, en wordt gezegd dat de sprongconditie de volgende is:
\(\left p \frac{\partial G_1}{\partial x} \right | _{x=\xi} - \left p\frac{\partial G_2}{\partial x} \right | _{x=\xi} = 1.\)
Ik snap echter totaal niet hoe ze hier aan komen. Het uitwerken van de integraal maakt het niet duidelijker:
\(\int\limits_{\xi - \epsilon}^{\xi + \epsilon} \left ( p(x)\frac{\mathrm{d}^2 G}{\mathrm{d}x^2} + \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}x} +q(x)G \right ) \mathrm{d}x.\)
Ik zie niet waarom sommige termen wegvallen, en hoe deze integraal uitkomt op de gegeven uitkomst. Ik had nog geprobeerd om partiële integratie toe te passen op de eerste term maar daar wordt het allemaal niet makkelijker van. Kan iemand mij dit uitleggen?
