Springen naar inhoud

waar-vals laplace



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2014 - 13:35

Ik kreeg volgende waar-valsvraag:

 

Zij 𝑓 en 𝑓′ beide causaal, continu op ]−∞, 𝑏[ ∪ ]𝑏, +∞[ en laplacetransformeerbaar, dan geldt: ℒ[𝑓'(𝑡)](𝑧) = 𝑧ℒ[𝑓(𝑡)](𝑧) + exp(−𝑧𝑏) [𝑓(𝑏−) − 𝑓(𝑏+)]

 

Ik weet echter niet hoe ik het best naga of deze uitspraak klopt?

 

En als deze uitspraak klopt: hoe bewijs ik dit?

 

Alvast bedankt!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juli 2014 - 14:44

Ik ga er straks eens naar kijken. Wel zie ik dat op mijn scherm niet alle tekens in je vraag worden weergegeven. LaTeX is meestal het makkelijkste te gebruiken op dit forum.

Zo zou het moeten werken:
Zij f en f′ beide causaal, continu op ]−∞, b[ ∪ ]b, +∞[ en laplacetransformeerbaar, dan geldt: ℒ[f'(t)](z) = zℒ[f(t)](z) + exp(−zb) [f(b−) − f(b+)]

Vragen i.v.m. laplace-en fouriertransformaties zijn meestal op te lossen m.b.v. partiële integratie. Het eerste wat ik zou proberen is beginnen bij het linkerlid. Dan de integraal opsplitsen in een deel van 0 tot b en van b tot oneindig. Dan zorgen dat er met behulp van partiële integratie, bij beide integralen, f'(x) wordt omgezet in f(x).

Veranderd door Flisk, 05 juli 2014 - 15:03

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 juli 2014 - 15:37

Als ik dat doe bekom ik dit:

 

Laplace2.jpg

 

maar dat is toch niet wat ik wil bekomen?

 

 

Veranderd door Dries Vander Linden, 05 juli 2014 - 15:37


#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 juli 2014 - 17:56

Ik vermoed dat de stelling waar is.

Je hebt nu al zℒ[f(t)](z) staan. Als je exp(-zb) buitenhaalt in eerste en voorlaatste term, krijg je exp(−zb) [f(b−) − f(b+)] lijkt me. Ik ben niet 100% zeker, er moet verklaard worden waarom je linker en rechter limiet neemt. Gegeven is dat f continu in die twee open intervallen is. Indien b niet gelijk aan nul is, gecombineerd met de causaliteit, is f(0) gelijk aan 0. Dan moet enkel nog geargumenteerd worden waarom f(+∞)exp(-∞z) gelijk aan nul is. Dit zou moeten volgen uit de eis dat f en f' laplacetransformeerbaar is. Ik ga er nog eens over nadenken, maar dit is sowieso al in de juiste richting.

EDIT: 
Laatste puntje schiet me net tebinnen, 
f(+∞)exp(-∞z) moet wel gelijk aan nul zijn. f is immers laplacetransformeerbaar. Dus de volgende integraal is eindig: 
ℒ[f(t)](z)=LaTeX


Dus de limiet van f(t)exp(-tz) indien t naar oneindig gaat, moet gelijk aan nul zijn. Is dit immers niet het geval, bestaat de integraal niet wat voor tegenspraak zorgt (normaal moet er wel zo'n soort stelling in je cursus staan). Het is ook niet zo moeilijk in te zien. Indien het integrandum een van nul verschillend getal nadert, wordt de integraal zelf oneindig.

Op wikipedia staat trouwens dezelfde stelling bij eigenschappen:

http://nl.wikipedia....e#Eigenschappen

Veranderd door Flisk, 05 juli 2014 - 18:11

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2014 - 08:55

Bedankt voor de hele uitleg, maar ben je er nu al uit waarom er linker en rechterlimiet gebruikt moet worden?


#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2014 - 15:16

Het is niet echt een rigoureus bewijs, maar geeft je wel een idee.
ℒ[f'(t)](z)=LaTeX

LaTeX
De reden waarom we respectievelijk linker en rechter limiet nemen, is omdat we geen informatie hebben over de continuïteit in b. Vergelijk het met een oneigenlijke integraal van de tweede soort.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 juli 2014 - 15:38

volgens mij is f(0) niet gelijk aan 0, en is de stelling dus vals, bij een causale functie geldt toch dat f(t) = 0 voor t<0 dus niet voor t=0?


#8

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2014 - 16:54

Inderdaad, maar er wordt ook gesteld dat de functie continu is in LaTeX

Bij een continue functie is de limiet gelijk aan de linker/rechterlimiet en aan de functiewaarde, Dus f(0) moet ook gelijk aan nul zijn (linkerlimiet is immers 0). Dit geldt enkel wanneer b niet gelijk aan nul is, in het geval dat b=0 moet je dus nog eens extra controleren, dan krijg je:

 

LaTeX

LaTeX


Wat hetzelfde geeft indien men gewoon de stelling invult.

Veranderd door Flisk, 06 juli 2014 - 16:57

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 06 juli 2014 - 22:57

Mijn redenering in bericht nr 4 klopt niet. Er bestaan immers divergente functies waarvan de integraal van 0 tot oneindig convergeert.

Er lijkt een voorwaarde te ontbreken, nl dat de functie f van exponentiële orde moet zijn.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 juli 2014 - 15:54

volgens mij klopt je redenering wel, als je functie niet naar 0 gaat voor x gaande naar oneindig, zal je toch nooit een integraal krijgen die niet oneindig is? Ik ken geen enkel tegenvoorbeeld daarvoor..

Veranderd door Dries Vander Linden, 07 juli 2014 - 15:56


#11

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 juli 2014 - 20:37

Sorry voor de verwarring. Indien het integradum convergeert en de integraal bestaat, moet het wel naar nul convergeren. Maar die redenering gaat niet op voor divergente functies. Ik zal een voorbeeld geven.
Neem de functie LaTeX

Waarvoor geldt:
LaTeX
Wat dus onbepaald is (divergent). De integraal daarentegen:
LaTeX
Wat dus convergeert naar nul.
Functie ziet er zo uit:
divfunct.JPG
Vergeet dus de redenering in bericht 4.

Dit neemt niet weg dat de stelling waarschijnlijk klopt. Meestal wordt wel aangenomen dat de functies die men transformeert van exponentiële orde zijn.
Als je zo'n vraag op een examen krijg, vraag je het best eens voor de zekerheid. Een tegenvoorbeeld geven is alvast zeer moeilijk, dus het lijkt mij sterk dat dit de bedoeling is.

Veranderd door Flisk, 07 juli 2014 - 20:43

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#12

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2014 - 08:39

http://www.hhofstede...les/laplace.htm

 

hier is een variant te vinden van de eigenschap, en hier gaan ze uit van het feit dat f/exp(x) naar 0 moet gaan voor x gaande naar oneindig, en dan zeggen ze dat de stelling klopt, ik begrijp echter niet zo goed waarom ze dat zeggen?


#13

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 juli 2014 - 08:50

oja, ik zie al wat ze bedoelen.. er lijkt inderdaad dat gegeven te missen opdat de stelling waar zou zijn..

 

f/exp(x) moet naar 0 gaan voor x gaande naar oneindig en dit is het geval als f van exponentiele orde zou zijn,

 

er is dus inderdaad een gegeven te weinig..

 

moest ik deze vraag krijgen, kan ik altijd schrijven dat de stelling geldt enkel en alleen als f/exp(x) naar 0 gaat voor x gaande naar oneindig, en dat het in andere gevallen niet klopt


#14

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 08 juli 2014 - 14:40

Dat was wat ik bedoelde. De link die je gaf is wel verwarrend, er staat f/exp(t) i.p.v. f/exp(st). Dit document geeft de definitie van exponentiële orde en bewijst m.b.v. de insluitstelling dat die limiet naar oneindig nul wordt. 
LaTeX



In dit filmpje toont men ook hoe je de Laplace getransformeerde van de afgeleide bepaalt. Ik heb het doorgespoeld tot net na de partiële integratie. Er wordt in detail uitgelegd waarom f(+∞)exp(-∞z) gelijk aan nul is, indien f van exponentiële orde is.

Veranderd door Flisk, 08 juli 2014 - 14:42

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures