[wiskunde] Berekening kromtestraal ellips

NW_

k loop vast bij de berekening van de kromtestraal van de ellips, gegeven door de parametervoorstelling:

x = a cos t

y = b sin t

Voorlopige uitwerking:

De kromtestraal r wordt gegeven door:

r = ((1+y'²)^3/2) / y''

y' en y'' heb ik reeds berekend:

y' = -a/b *tan t

y'' = -1 / (b*sin t *cos²t)

berekening van (1+y'²)

y'² = (a²*tan²t)/b²

=> 1+y'² =1+((a²*tan²t)/b²) = (b²+a²*tan²t)/b²

=> (1+y'²)^3/2 = ((b²+a²*tan²t)^3/2 ) / b³

Ik zou niet direct weten hoe verder te komen met de uitwerking van de teller. Iemand hulp?

aadkr

je stelt in je bericht:de kromtestraal r wordt gegeven door:
en dan komt er een formule
weet je zeker dat die formule juist is. hoe kom je aan die formule? staat die zo vermeld in je studieboek?

NW_

Deze formule staat in mijn cursus vermeld, en is ook correct. Dit is ook terug te vinden op wikipedia:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Kromtestraal

tempelier

Ik zou de standaard methode gebruiken.

Herleid de tan weer naar sin en cos.

Breng dan het geheel van de kromming onder de wortel en werk dit uit.

Gezien het antwoord (ik heb gespiekt) moet dat dan weer op x en y coordinaten zijn terug te brengen.

Lijkt me wel heel bewerkelijk.

--------------------------

Misschien had je beter deze formule kunnen gebruiken, die werkt wat soepeler.

\(\frac{(\dot x^2+\dot y^2)^\frac{3}{2}}{\dot x\ddot y-\ddot x\dot y}\)

aadkr

je stelt:
x=a.cos (t)
y=b.sin(t)
maar die t is een hoek in radialen.
dus waarom niet gesteld:

\(x=a \cdot \cos \varphi \)

\(y=b \cdot \sin \varphi \)

\((0 \leqq \varphi < 2 \pi )(a>0 , b >0 )\)

verder klopt die y'niet.
gebruik de formule van tempelier , maar zet die noemer tussen absolute waardestrepen.

aadkr

: img028.jpg (45.47 KiB) 523 keer bekeken

NW_

Bedankt voor de reacties, aadkr en Temperlier. Ik zal er morgen verder bekijken. Ik ben me ervan bewust dat de berekende y' niet klopt. Ik zal hier morgen verder op reageren.

NW_

aadkr schreef: je stelt:
x=a.cos (t)
y=b.sin(t)
maar die t is een hoek in radialen.
dus waarom niet gesteld:
\(x=a \cdot \cos \varphi \)

\(y=b \cdot \sin \varphi \)

\((0 \leqq \varphi < 2 \pi )(a>0 , b >0 )\)
verder klopt die y'niet.
gebruik de formule van tempelier , maar zet die noemer tussen absolute waardestrepen.

Ik heb deze opgave nogmaals bekeken. Ik heb wel verder gewerkt met de door mij vermelde formule, en niet met de formule die Tempelier gaf. Dit om de reden dat deze formule bij ons in de cursus niet behandeld werd. Ik weet dus ook niet zeker of de prof het zou appreciëren moest ik deze formule zomaar uit het niets op het examen gebruiken.

Betreffende de opgave:

mijn uitdrukking voor y' was inderdaad verkeerd. Dit moet zijn:

y' = - b /(a*tan t)

Voor y'' bekom ik:

y'' = -b/(a².sin³t)

Uiteindelijk bekom ik dan voor de kromtestraal volgende uitdrukking:

r = ((a².sin²t + b².cos²t)^3/2) / b

Aangezien ik geen info heb omtrent het correcte antwoord vroeg ik me af of dit correct is.

aadkr

de teller is correct , maar de noemer niet.
mijn advies : gebruik de formule van Tempelier
deze formule moet je Prof wel goedkeuren omdat deze formule ook correct is.

aadkr

ik geloof dat ik nu het licht begint te zien.
die formule voor het berekenen van de kromtestraal van de ellips die in je eerste bericht staat geldt alleen als de vergelijking van de ellips geschreven is als y is een funktie van x

\(y=\pm \sqrt{b^2-\frac{b}{a^2} \cdot x^2}\)

in je derde bericht plaats je een link naar de site van wikipedia
de eerste formule die je daar tegen komt ,moet je gebruiken.
nog beter en een stuk eenvoudiger is het om de formule van Tempelier te gebruiken.
die formule staat ook op die site.

NW_

Inmiddels ben ik erin geslaagd om de correcte uitdrukking voor de kromtestraal te berekenen, met de door mij vermelde formule. Ik heb het hierna nagerekend met de door Tempelier vermeldde formule.Ik moet toegeven dat deze formule het rekenwerk aanzienlijk lichter maakt, en zal hem zeker nog verder gebruiken bij dergelijke berekeningen.

Dank voor de hulp!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Berekening kromtestraal ellips

Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips

Re: Berekening kromtestraal ellips