Springen naar inhoud

Formule van Parseval


  • Log in om te kunnen reageren

#1

PhysMath

    PhysMath


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 juli 2014 - 20:36

 {1,cos(x), cos(2x), cos(3x),....} is een orthogonale verzameling in PC[0,Pi], en f(x)=x2 .

 

Gevraagd 4d, Gebruik de formule van Parseval om LaTeX

te bepalen.

IMG-20140718-WA0013.jpg

 

Wat heb ik gedaan, (sammenvattend wat ik denk dat belangrijk is voor de vraag):

1. Ik heb teneerste bewezen dat de verzameling zeg g, orthogonaal is:

 

Orthogonaal als <f,g>=0 met h(x)=cos(kx) en g(x)=cos(mx) met LaTeX

LaTeX

voor iedere LaTeX

 

2. De fourier coefficienten bepaald, met behulp van de norm.

 

LaTeX

voor k=1,2,3,...

LaTeX

 

LaTeX

voor k=0, cos(0)=1

LaTeX

 

en LaTeX

resulterend in LaTeX en LaTeX

=> fourierreeks: LaTeX

voor k=1,2,3,...

 

3. Formule van Parseval

LaTeX

Nu is er gevraagd, gebruik de formule van Parseval om LaTeX

te bepalen. Hoe doe je dat? moet ik de sommatie gewoon ergens invullen? of moet ik iets gaan uitwerken? Het antwoord is mij wel bekend LaTeX . Sammenvattend: hoe kom je aan dit antwoord?

 

Alvast bedankt voor de moeite.

 

 


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 20 juli 2014 - 14:34

Als je gebruikmaakt van het resultaat in onderdeel c kun je het zo invullen, gebruik:

 

LaTeX

 

LaTeX

 

LaTeX

 

LaTeX

 

Interpretatie van Parseval mbv energie en vermogen van een signaal:

(wiskundigen vinden dit waarschijnlijk niet zo relevant maar technisch of natuurkundig is het van belang)

 

(1)het vermogen van het signaal f(t) dat is gedefiniëerd tussen op een interval en periodiek is voortgezet, is het vermogen van de gelijkstroomterm + het vermogen van alle sinusoïden die het signaal samenstellen.

 

(2)het vermogen van het signaal is tevens gemiddelde van het kwadraat en dat is per definitie de integraal van het gekwadrateerde signaal over één periode gedeeld door de periodetijd.

Veranderd door Anton_v_U, 20 juli 2014 - 14:58


#3

PhysMath

    PhysMath


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 juli 2014 - 17:21

LaTeX

LaTeX

volgens u:

LaTeX

Is mijn oorspronkelijke a_n dan fout? Ik ga veder met de tweede a_n.

LaTeX

met

LaTeX

met

LaTeX

LaTeX

(U heeft x^4 pas bij ||f||^2 gebruikt, waar ik het al bij |f|^2 denkt nodig te hebben, hoe heeft u dat opgelost?)

Conclusie:(*)

LaTeX

 

*2/4pi=1/2pi

 

Mijn antwoord is strijdig met (pi^4)/90. Maar klopt veder de manier van oplossen wel?

Veranderd door PhysMath, 20 juli 2014 - 17:33


#4

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 21 juli 2014 - 01:43

Ik zat wat te haspelen met de coëfficiënten maar ik heb ze nagerekend, ik ben er tamelijk zeker van dat het nu klopt, in ieder geval moet er een k2 in de noemer staan als je ak uitrekent. Het is handiger om de Fourierreeks van x2 te bepalen op het interval [-pi,pi]. Omdat het een even functie is, is de functie dan te schrijven als een som van cosinussen met alle bk=0. 

 

Dan volgt:

 

LaTeX

 

LaTeX

 

Te bepalen door 2x partiëel te integreren, ik denk dat je daar fout gaat: 

 

 

De stelling van Parseval luidt voor deze reeks (reële coëfficiënten, bn=0)

 

LaTeX

 

Je moet niet de integraal uitrekenen en dan nogmaals integreren. 

LaTeX

 

Ik ben deze notaties niet precies op deze manier gewend,  maar ik vermoed dat met de absoluut strepen wordt bedoeld dat je de norm van een in het algemeen complexe functie f moet nemen (dus sqrt(Re(f)2+Im(f)2), in dit geval is |f(x)|=f(x) want hij is reëel en positief. De dubbele strepen betekenen dat je (het kwadraat van) de norm van de functie moet nemen in de lineaire ruimte van periodieke functies en dat is een integraal (zo is de norm gedefinieerd).

 

Dat levert voor de som: LaTeX

Veranderd door Anton_v_U, 21 juli 2014 - 01:47


#5

PhysMath

    PhysMath


  • 0 - 25 berichten
  • 11 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 juli 2014 - 11:30

Bedankt ;)


#6

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 21 juli 2014 - 12:05

Ik heb nog even nagedacht over dat interval [0,pi] in de opgave, ik had hier wat problemen mee.  Meer dan 25 jaar geleden voor me, leuk om het zo weer een beetje op te halen.

 

Je kunt even periodieke functies: f(-x)=f(x) in een cosinusreeks ontwikkelen en oneven functies: f(-x)=-f(x) in een sinusreeks. De functie f(x)=x2 op [0,pi] kun je in een cosinusreeks ontwikkelen als je f(x) voortzet op [-pi,0]. Je kunt het in een sinusreeks ontwikkelen als je f(x) voortzet als: f(x) = -x2 op [-pi,0]. In beide gevallen convergeert de reeks natuurlijk naar x2 op het interval [0,pi]. 

 

Ook voor de sinusreeks geldt Parseval. Het signaal heeft hetzelfde vermogen, alleen is er dan geen gelijkstroomterm a0.

Maar goed, dit had je je vast al gerealiseerd.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures