Formule van Parseval

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer
Berichten: 11

Formule van Parseval

 {1,cos(x), cos(2x), cos(3x),....} is een orthogonale verzameling in PC[0,Pi], en f(x)=x2 .
 
Gevraagd 4d, Gebruik de formule van Parseval om
\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}\)
te bepalen.
IMG-20140718-WA0013.jpg
IMG-20140718-WA0013.jpg (102.44 KiB) 460 keer bekeken
 
Wat heb ik gedaan, (sammenvattend wat ik denk dat belangrijk is voor de vraag):
1. Ik heb teneerste bewezen dat de verzameling zeg g, orthogonaal is:
 
Orthogonaal als <f,g>=0 met h(x)=cos(kx) en g(x)=cos(mx) met
\( n \neq m \)
\( \begin{align} <f,g>=\int_0^\pi \mathrm{h(x)g(x)}\,\mathrm{d}x=\int_0^\pi \mathrm{cos(kx) cos(mx)}\,\mathrm{d}x=0 \end{align} \)
voor iedere
\(n \neq m\)
 
2. De fourier coefficienten bepaald, met behulp van de norm.
 
\(\begin{align*} ||cos(kx)||\end{align*} \)
voor k=1,2,3,...
\( \begin{align*} ||cos(kx)|| = \sqrt{<cos(kx),cos(kx)>}=\int_0^\pi \mathrm{cos(kx) cos(kx)}\,\mathrm{d}x = \sqrt{\frac{1}{2}\pi} \end{align*} \)
 
\( \begin{align*}||cos(kx)|| \end{align*} \)
voor k=0, cos(0)=1
\( \begin{align*} ||1||=\sqrt{<1,1>}=\sqrt{\pi} \end{align*} \)
 
en
\( \begin{align*} c_k=\frac{<f(x),g(x)>}{<g(x),g(x)>} \end{align*} \)
resulterend in
\( \begin{align*} a_0=\pi^2/3 \end{align*} \)
en
\(\begin{align*} a_n=\frac{2.(-1)^k}{k} \end{align*} \)
=> fourierreeks:
\(\begin{align*} F(x)= \frac{\pi^2}{3}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{4 (-1)^k}{k}cos(kx) \end{align*} \)
voor k=1,2,3,...
 
3. Formule van Parseval
\( \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2||\phi_k||^2=||f||^2 \end{align*} \)
Nu is er gevraagd, gebruik de formule van Parseval om
\( \begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} \end{align} \)
te bepalen. Hoe doe je dat? moet ik de sommatie gewoon ergens invullen? of moet ik iets gaan uitwerken? Het antwoord is mij wel bekend
\( \begin{align*} \frac{\pi^4}{90} \end{align*} \)
. Sammenvattend: hoe kom je aan dit antwoord?
 
Alvast bedankt voor de moeite.
 
 

Berichten: 1.617

Re: Formule van Parseval

Als je gebruikmaakt van het resultaat in onderdeel c kun je het zo invullen, gebruik:
 
\(a_{0}=\frac{\pi ^{2}}{3}\)
 
\(a_{k}=\frac{2(-1) ^{k}}{k^{2}}\)
 
\(\left | a_{k} \right |^{2}=\frac{4}{k^{4}}\)
 
\(\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi}\left | f(x)) \right |^{2}dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi}x^{4}dx\)
 
Interpretatie van Parseval mbv energie en vermogen van een signaal:
(wiskundigen vinden dit waarschijnlijk niet zo relevant maar technisch of natuurkundig is het van belang)
 
(1)het vermogen van het signaal f(t) dat is gedefiniëerd tussen op een interval en periodiek is voortgezet, is het vermogen van de gelijkstroomterm + het vermogen van alle sinusoïden die het signaal samenstellen.
 
(2)het vermogen van het signaal is tevens gemiddelde van het kwadraat en dat is per definitie de integraal van het gekwadrateerde signaal over één periode gedeeld door de periodetijd.

Berichten: 11

Re: Formule van Parseval

\( \begin{align*} a_0=\pi^2/3 \end{align*}\)
\(\begin{align*} a_n=\frac{2.(-1)^k}{k} \end{align*} \)
volgens u:
\( \begin{align*} a_n=\frac{2.(-1)^k}{k^2} \end{align*} \)
Is mijn oorspronkelijke a_n dan fout? Ik ga veder met de tweede a_n.
\( \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}|c_k|^2||\phi_k||^2=\frac{\pi^4}{9}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4 \pi}{2 k^4} =||f||^2 \end{align*} \)
met
\( \begin{align*} ||f||^2=\int_0^\pi \mathrm{|f|^2}\,\mathrm{d}x \end{align*} \)
met
\( \begin{align*} |f|^2=\int_0^\pi \mathrm{x^4}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{5}\pi^5 \end{align*} \)
\( \begin{align*} ||f||^2=\int_0^{\pi} \mathrm{\frac{1}{5}\pi^5}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{5}\pi^6 \end{align*} \)
(U heeft x^4 pas bij ||f||^2 gebruikt, waar ik het al bij |f|^2 denkt nodig te hebben, hoe heeft u dat opgelost?)
Conclusie:(*)
\( \begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{1}{2\pi}||f||^2-\frac{\pi^4}{9\pi}=\frac{1}{10}\pi^5-\frac{\pi^3}{9} \end{align*} \)
 
*2/4pi=1/2pi
 
Mijn antwoord is strijdig met (pi^4)/90. Maar klopt veder de manier van oplossen wel?

Berichten: 1.617

Re: Formule van Parseval

Ik zat wat te haspelen met de coëfficiënten maar ik heb ze nagerekend, ik ben er tamelijk zeker van dat het nu klopt, in ieder geval moet er een k2 in de noemer staan als je ak uitrekent. Het is handiger om de Fourierreeks van x2 te bepalen op het interval [-pi,pi]. Omdat het een even functie is, is de functie dan te schrijven als een som van cosinussen met alle bk=0. 
 
Dan volgt:
 
\(a_{0}=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\frac{\pi ^{2}}{3}\)
 
\(a_{k}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi }^{\pi }x^{2}cos(nx)dx=(-1)^{k}\frac{4}{k^{2}}\)
 
Te bepalen door 2x partiëel te integreren, ik denk dat je daar fout gaat: 
 
 
De stelling van Parseval luidt voor deze reeks (reële coëfficiënten, bn=0)
 
\(\frac{1}{2\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f^2(x)dx=a_{0}^{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{\infty }a_{n}^2\)
 
Je moet niet de integraal uitrekenen en dan nogmaals integreren. 
\(f(x)=x^{2} dus \left | f(x) \right |^{2}=x^{4}\)
 
Ik ben deze notaties niet precies op deze manier gewend,  maar ik vermoed dat met de absoluut strepen wordt bedoeld dat je de norm van een in het algemeen complexe functie f moet nemen (dus sqrt(Re(f)2+Im(f)2), in dit geval is |f(x)|=f(x) want hij is reëel en positief. De dubbele strepen betekenen dat je (het kwadraat van) de norm van de functie moet nemen in de lineaire ruimte van periodieke functies en dat is een integraal (zo is de norm gedefinieerd).
 
Dat levert voor de som:
\(\pi ^{4}/90\)

Berichten: 11

Re: Formule van Parseval

Bedankt ;)

Berichten: 1.617

Re: Formule van Parseval

Ik heb nog even nagedacht over dat interval [0,pi] in de opgave, ik had hier wat problemen mee.  Meer dan 25 jaar geleden voor me, leuk om het zo weer een beetje op te halen.
 
Je kunt even periodieke functies: f(-x)=f(x) in een cosinusreeks ontwikkelen en oneven functies: f(-x)=-f(x) in een sinusreeks. De functie f(x)=x2 op [0,pi] kun je in een cosinusreeks ontwikkelen als je f(x) voortzet op [-pi,0]. Je kunt het in een sinusreeks ontwikkelen als je f(x) voortzet als: f(x) = -x2 op [-pi,0]. In beide gevallen convergeert de reeks natuurlijk naar x2 op het interval [0,pi]. 
 
Ook voor de sinusreeks geldt Parseval. Het signaal heeft hetzelfde vermogen, alleen is er dan geen gelijkstroomterm a0.
Maar goed, dit had je je vast al gerealiseerd.

Reageer