[wiskunde] Nog een onbepaalde integraal

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 772

Nog een onbepaalde integraal

Hier nog een onbepaalde integraal waarmee ik niet verder geraak.
 
Opgave:
 
\( \int \frac{\sqrt{1-x^3}}{x^2\sqrt{x}} \,\mbox{d}x \)
 
Ik heb deze integraal omgevormd tot de volgende onbepaalde integraal, maar ik zie niet direct in of ik hier daadwerkelijk iets mee ben:
 
\( \int \sqrt{\frac{1-x^3}{x^3}} \,\mbox{d}x \)
 
Waarschijnlijk zal nu een substitutie moeten worden uitgevoerd, maar dewelke? Kan het eventueel eenvoudiger?
 
Bedankt!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

De omwerking is niet goed ...
Stel x3/2=u ...

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

Stel x3/2= u => 3/2 x1/2 = du => x1/2 = 2/3 du
 
Hoe schrijf ik nu het deel
 
\( \sqrt{1-x^3} \)
 
in termen u?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

Als x3/2=u <=> x3=...
 
 
NW_ schreef: Stel x3/2 = u => 3/2 x1/2  = du => x1/2 = 2/3 du
 
Stel x3/2 = u   => 3/2 x1/2dx = du => x1/2dx = 2/3 du

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

Oké nieuwe poging:
 
x3/2 = u => x3 = u2  => x = u2/3
 
Na berekening van du zal denk ik de integraal moeilijker worden.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

Proberen ...

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

Oke:
 
Als x3/2 = u dan is x3 = u2 en x = u2/3. Dan wordt dx:
 
\( dx=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{u}} \)
 
Wel begrijp ik niet waarom precies een substitutie stel x3/2 = u. Aangezien  de noemer (x2 . x1/2) gelijk is aan x5/2 zou ik eerder denken aan een substitutie: stel x5/2 = u. Hoe zie ik in dat de door u vermeldde substitutie hier gebruikt dient te worden?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

NW_ schreef: Als x3/2 = u dan is x3 = u2 en x = u2/3. Dan wordt dx:
 
\( dx=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{u}} \)
 
\( dx=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{u}}du \)
 
maar als je uitgaat van x3/2 =u, vind je: 
 
\(\frac 3 2 x^{1/2}dx=du\)
 
en als we dat toevoegen krijgen we:
 
\(\frac 2 3 \int \frac{\sqrt{1-u^2}}{u^2}du=...\)
 
Ga dit eerst na ...

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

Helaas, krijg  ik dit niet aangetoond. Ik heb problemen met de noemer:
 
Als x3/2 = u => x = u2/3 => x2 =u4/3 en  x1/2 = u1/3
 
Noemer = x1/2 * x2 = u4/3 *u1/3 =u5/3
 
Dit klopt totaal niet.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Nog een onbepaalde integraal

NW, Safe zijn verhaal klopt wel.
probeer het nog eens te berekenen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

Safe schreef:  
maar als je uitgaat van x3/2 =u, vind je: 
 
\(\frac 3 2 x^{1/2}dx=du\)
 
Ben je hiermee eens ...?
 
Zo ja, dan wil je: 
 
\(\int \frac{\sqrt{1-x^3}}{x^2 \sqrt{x}}dx\)
[/size]
 
uitbreiden zo dat je du kan schrijven, maar zomaar toevoegen kan niet ...

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

@ Aadkr Ik weet dat Safe zijn verhaal klopt hoor. Ik kom er enkel zelf niet toe.
 
@ Safe: tot hiermee ben ik mee, dus:
 
\(\frac 3 2 x^{1/2}dx=du \)
 
Hoe schrijf ik nu x2 * x1/2 (de noemer) in termen van u?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Nog een onbepaalde integraal

Toevoegen betekent hier vermenigvuldigen, je mag vermenigvuldigen met 1 dus ...
 
\(\int \frac{\sqrt{1-x^3}}{x^2\sqrt{x}}\cdot \frac{3/2\sqrt{x}}{3/2\sqrt{x}}dx\)
 
Kan je nu wel overgaan op u ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.571

Re: Nog een onbepaalde integraal

ben  je het hiermee eens:
\(dx=\frac{2}{3}\cdot \frac{du}{x^{1/2}}\)
 

Berichten: 772

Re: Nog een onbepaalde integraal

Daarmee ben ik het eens, aadkr

Reageer