Springen naar inhoud

deelruimten



  • Log in om te kunnen reageren

#1

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 17:01

Ik kreeg volgende uitspraken, die ik moest bewijzen/verwerpen met een tegenvoorbeeld:

 

1)

pr014.png

 

2)

pr015.png

 

 

 

Uitspraak 1 is niet moeilijk te verwerpen, neem bijvoorbeeld W1={1}, W2={2}, deelruimten van de reële getallen, dan W1 U W2 = {1,2} is een deelruimte van de reële getallen, maar W1 is geen deel van W2 en omgekeerd.

De uitspraak is dus vals.

 

Bij uitspraak 2 vermoed ik ook dat ze vals is, al kan ik hier niet zo makkelijk een tegenvoorbeeld vinden..

 

Iemand die kan helpen?


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 20:35

 

 

Uitspraak 1 is niet moeilijk te verwerpen, neem bijvoorbeeld W1={1}, W2={2}, deelruimten van de reële getallen, dan W1 U W2 = {1,2} is een deelruimte van de reële getallen, maar W1 is geen deel van W2 en omgekeerd.

De uitspraak is dus vals.

 

 

 

Nee, dit klopt niet want {1} en {2} zijn geen deelruimten! (althans, ik neem aan dat men met 'deelruimte' een lineaire deelruimte bedoelt).

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 20:44

Ik heb zojuist aangetoond dat de tweede uitspraak waar is voor verzamelingen maar eerlijk gezegd weet ik niet aan welke eigenschap deelruimten van een vectorruimte moeten voldoen. Kun je dat toelichten? Is dat zoiets als: 

 

als u in de vectorruimte en v in de vectorruimte, dan alfa u + beta v ook in de vectorruimte?

Veranderd door Anton_v_U, 03 augustus 2014 - 20:55


#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 21:58

Ik heb zojuist aangetoond dat de tweede uitspraak waar is voor verzamelingen maar eerlijk gezegd weet ik niet aan welke eigenschap deelruimten van een vectorruimte moeten voldoen. Kun je dat toelichten? Is dat zoiets als: 

 

als u in de vectorruimte en v in de vectorruimte, dan alfa u + beta v ook in de vectorruimte?

Inderdaad, som, veelvoud en lineaire combinaties van  u en v zijn ook in de vectorruimte.


 

Nee, dit klopt niet want {1} en {2} zijn geen deelruimten! (althans, ik neem aan dat men met 'deelruimte' een lineaire deelruimte bedoelt).

Ik zie niet wat er verkeerd is aan de redenering van TS.

 

{1} is toch een deelruimte van R?

EDIT: alle veelvouden, dus ook de nulvector moeten erin zitten, dus ik zie het al

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:03

Ik kreeg volgende uitspraken, die ik moest bewijzen/verwerpen met een tegenvoorbeeld:

 

2)

attachicon.gifpr015.png

 

 

 

 

Bij uitspraak 2 vermoed ik ook dat ze vals is, al kan ik hier niet zo makkelijk een tegenvoorbeeld vinden..

 

Iemand die kan helpen?

Deze klopt wel volgens mij. Denk aan de eigenschappen van de directe som.

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:14

 


Ik zie niet wat er verkeerd is aan de redenering van TS.

 

{1} is toch een deelruimte van R?

 

Nee, want een deelruimte hoort altijd de nulvector te bevatten.

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#7

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:24

voor de tweede uitsprak is dit een tegenvoorbeeld:

W1: rechte door de oorsprong
W2: rechte door de oorsprong

-> W1 directe som W2 = vlak opgespannen door W1 en W2

Neem W een vlak door de oorsprong dat W1 en W2 enkel maar in de oorsprong snijdt.
-> W doorsnede vlak(W1,W2) = rechte
-> W doorsnede W1 = {0} / W doorsnede W2 = {0}
-> rechte != {0} -> vals


Nee, want een deelruimte hoort altijd de nulvector te bevatten.


voor de eerste uitspraak, is dit dan een geldig tegenvoorbeeld:

V: driedimensionale ruimte
W1: x-as
W2: y-as

ze zijn geen deel van mekaar, maar de unie is wel een deelruimte van V

Veranderd door Dries Vander Linden, 03 augustus 2014 - 22:24


#8

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:38

Okee ik snap het al wat beter. Ik denk nu dat de eerste ook waar is maar dat is nogal intuïtief en dus onbetrouwbaar.

 

Voorbeeld (geen bewijs) neem twee niet samenvallende vlakken, beide door de oorsprong. Beide vlakken zijn een deelruimte van R3 want lineaire combinaties van punten op zo'n vlak liggen altijd op hetzelfde vlak (daarom moeten ze door de oorsprong).  Beide vlakken samen zijn geen deelruimte want lineaire combinaties van punten op beide vlakken liggen tussen beide vlakken in en liggen dus niet op één van beide vlakken.

 

Een vlak door de oorsprong en een lijn in het zelfde vlak door de oorsprong zijn samen het vlak en dus een deelruimte; de lijn is tevens deelverzameling van het vlak. Als de lijn niet in het vlak loopt dan is dit niet het geval. Dit is denk ik gemakkelijk te generaliseren naar meer dimensies.


#9

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:44

voor de eerste uitspraak, is dit dan een geldig tegenvoorbeeld:

V: driedimensionale ruimte
W1: x-as
W2: y-as

ze zijn geen deel van mekaar, maar de unie is wel een deelruimte van V

 

Nee toch? De x-as is een liniaire deelruimte van R3  want vectorsommen en scalaire producten van vectoren op de x-as zijn weer vectoren op de x-as. Voor de y-as geldt hetzelfde.

 

De vereniging van de x-as en de y-as zijn alleen de punten die op de x-as en de y-as liggen. Het punt (1,1,0) is net als vele andere punten in het vlak z=0 een lineaire combinatie die niet op de x-as of y-as ligt en de x-as verenigd met de y-as is dus geen lineaire deelruimte.

Veranderd door Anton_v_U, 03 augustus 2014 - 22:48


#10

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 22:48

Maar vectoren die op de unie van de x-as en y-as liggen zijn toch opnieuw een deelruimte van de driedimensionale ruimte ?

#11

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 03 augustus 2014 - 23:28

Vectoren op de uni van de x-as en de y-as zijn bijvoorbeeld (1,0,0) want die ligt op de x-as en (0,1,0) want die ligt op de y as. De som van deze vectoren is (1,1,0). Maar deze somvector ligt niet op de uni van de x-as en de y-as. Sommatie in deze verzameling is dus niet inwendig, het is dus geen lineaire deelruimte.

 

(1,1,0) is wel een lineaire combinatie van (1,0,0) en (0,1,0) maar het zal duidelijk zijn dat deze vector (1,1,0) op de uni van de xas en de yas ligt. De verzameling van alle lineaire combinaties van 2 deelruimten zijn samen wel een lineaire deelruimte maar de vereniging van 2 lineaire deelruimten is in het algemeen geen lineaire deelruimte.


#12

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 augustus 2014 - 11:43

De deelverzameling U van een vectorruimte X is dan en slechts dan een deelruimte van X indien de volgende 3 voorwaarden gelden.

1)

LaTeX

2)LaTeX

3) LaTeX

aan de tweede voorwaarde wordt niet voldaan

zie ook het bericht van Anton.

 


#13

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2014 - 14:49

De deelverzameling U van een vectorruimte X is dan en slechts dan een deelruimte van X indien de volgende 3 voorwaarden gelden.
1)
LaTeX


2)LaTeX
3) LaTeX
aan de tweede voorwaarde wordt niet voldaan
zie ook het bericht van Anton.


maar voor het tweede heb ik dan toch een geldig tegenvoorbeeld, of niet?

#14

Dries Vander Linden

    Dries Vander Linden


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 augustus 2014 - 17:37

Even ter verduidelijking:

uitspraak 1 is waar:

bewijs:
 

=> :
Gegeven: W1È W2 is een deelruimte.
Stel nu eens dat W1 geen deelverzameling is van W2, en ook niet omgekeerd. Dus er bestaat een w1 in W1 die niet in W2 zit, en er bestaat een w2 in W2 die niet in W1 zit.
w1+w2 zit wegens het deelruimtecriterium in de unie W1ÈW2. Dus bv in W1 (geval W2 verloopt volledig analoog). Dan heb je dat w1+w2 en -w1 allebei in W1 zitten, en dus ook hun som (=w2) zit in W1. Dat is een strijdigheid. Conclusie: de onderstelling dat W1Ë W2 EN W2Ë W1 is fout.

<=:

als W1ÍW2 of omgekeerd dan is de unie van de twee gelijk aan de grootste, en is dus een deelruimte.
 

uitspraak 2 is vals:

tegenvoorbeeld:

W1: rechte door de oorsprong
W2: rechte door de oorsprong

-> W1 directe som W2 = vlak opgespannen door W1 en W2

Neem W een vlak door de oorsprong dat W1 en W2 enkel maar in de oorsprong snijdt.
-> W doorsnede vlak(W1,W2) = rechte
-> W doorsnede W1 = {0} / W doorsnede W2 = {0}
-> rechte != {0} -> vals


#15

Anton_v_U

    Anton_v_U


  • >1k berichten
  • 1620 berichten
  • Validating

Geplaatst op 05 augustus 2014 - 17:54

Tweede stelling: Ik denk dat het somteken in de expressie een exclusive or is.

De exclusive or van 2 niet samenvallende lijnen door de oorsprong is de vereniging van beide lijnen behalve {0}

 

 

Je kunt met een waarheidstabel nagaan dat de stelling klopt.

Veranderd door Anton_v_U, 05 augustus 2014 - 17:55







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures