Drievoudige integraal

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 12

Drievoudige integraal

Ik moet het volume berekenen tussen de paraboloide z=x^2+y^2 en het vlak z=y. 
* Ik heb eerst gewerkt met cilindercoordinaten en heb als grenzen voor de hoek a 0 tot pi en de voor de straal r van 0 tot rsin(a). Die berekening leverde pi/32; wat overeenkomt met de oplossingen.
* Ik dacht ik doe het zonder cilindercoordinaten: (ik integreer respectieverlijk van links naar rechts over: dx, dy, dz met grenzen voor x=0->1/2 en y=0->1 en z= van paraboloide tot vlak of maw: x^2+y^2 -> y. Deze integraal levert 1/24 op, wat doe ik fout?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Drievoudige integraal

Je houdt geen rekening met het omwentelingslichaam (de paraboloïde) en dus ontbreekt pi ...

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Drievoudige integraal

De fout ligt hem in de grenzen voor x. Die grens hangt nog af van y. Bij deze oefening is projectie op het xy-vlak het eenvoudigste. Integratie gaat makkelijkste in deze volgorde: eerst over z, dan over x, als laatste over y. Je integreert dan als het ware over een gebied op het xy-vlak. De integraal ziet er dan zo uit:
\(\int_{0}^{1}\int_{?}^{?}\int_{x^2+y^2}^{y}dzdxdy\)
Het gebied waarover je integreert vind je door z te elimineren uit de twee vergelijkingen. Een tekening kan ook handig zijn:
parvlak.JPG
parvlak.JPG (27.12 KiB) 408 keer bekeken
Visualisatie van het gebied waarover je integreert:
gebiedxy.JPG
gebiedxy.JPG (35.71 KiB) 409 keer bekeken
Nu heb je over een vierhoek geïntegreerd (aangeduid met de dunne zwarte lijnen), terwijl dit dus die rode schijf moet zijn.

Als je meer uitleg nodig hebt, vraag gerust door.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

Berichten: 48

Re: Drievoudige integraal

Flisk schreef: De fout ligt hem in de grenzen voor x. Die grens hangt nog af van y. Bij deze oefening is projectie op het xy-vlak het eenvoudigste. Integratie gaat makkelijkste in deze volgorde: eerst over z, dan over x, als laatste over y. Je integreert dan als het ware over een gebied op het xy-vlak. De integraal ziet er dan zo uit:
\(\int_{0}^{1}\int_{?}^{?}\int_{x^2+y^2}^{y}dzdxdy\)
Het gebied waarover je integreert vind je door z te elimineren uit de twee vergelijkingen. Een tekening kan ook handig zijn:
Afbeeldingparvlak.JPG

Visualisatie van het gebied waarover je integreert:
Afbeeldinggebiedxy.JPG

Nu heb je over een vierhoek geïntegreerd (aangeduid met de dunne zwarte lijnen), terwijl dit dus die rode schijf moet zijn.

Als je meer uitleg nodig hebt, vraag gerust door.
Hoe kan je eigenlijk weten dat uw z=y "boven" uw z=x^2+y^2 ligt zonder de tekening?

Reageer