Springen naar inhoud

vergelijking met 2 onbekenden



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2014 - 19:21

laat zien dat LaTeX

 

oneindig veel oplossingen heeft (x,y) waarbij x en y geheeltallig zijn.

 

Hierbij dacht ik aan, kies x vast en geef uitdrukking voor y, dat geeft:

 

LaTeX

 

Nu is 3x-4 altijd geheeltallig en dus is het voldoende om te laten zien dat er altijd wel x'en zijn te vinden waarvoor het wortel gedeelte een geheel getal wordt; dus 17-24x+8x^2 leidt tot een getal^2. Ik zie dat het geldt voor x=1,2,4,16,86,......(ik zie het patroon niet) Weet iemand hoe ik dit kan laten zien?

Veranderd door lucca, 06 augustus 2014 - 19:22


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 augustus 2014 - 20:30

Waar komt die opgave vandaan..?

 

Het helpt misschien om x naar 1 kant te brengen ipv y.


#3

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2014 - 12:41

hmm... ik heb het geprobeerd; dan krijg ik:
 
LaTeX


 
Dus het is voldoende als ik kan laten zien dat er altijd wel integere getallen y en g te vinden zijn waarvoor geldt: 
 
LaTeX .

 

beetje herschrijven geeft:

 

LaTeX

 

LaTeX

 

Dit is een vorm van de (negatieve) Pell's vergelijking en daarvan weten we dat er oneindig veel integere oplossingen zijn, dus klaar?

Veranderd door lucca, 07 augustus 2014 - 13:57


#4

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2014 - 14:12

Ik zat ook al te klooien met Pell, maar dat lukt denk ik niet. Als z geheel is, is y = z + 0,5 dat juist niet.


#5

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2014 - 14:53

Vermenigvuldig eerst eens links en rechts met y en werk dat vervolgens eens om naar de gedaante y = ...

Veranderd door mathfreak, 07 augustus 2014 - 14:53

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#6

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 augustus 2014 - 17:47

Mathfreak, dat is al gedaan in post 1...

 

Even voor de duidelijkheid: alles wat ik hier post is slechts mijn gedachtegang en wellicht niet een hint naar de oplossing. Ik heb zelf geen bewijs en ik probeer mee te denken. Heeft mathfreak misschien wel een bewijs?


#7

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 augustus 2014 - 17:11

Heeft niemand dan de oplossing? Ik ben toch wel benieuwd eigenlijk.


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 augustus 2014 - 17:30

Met y ongelijk 0 kan je de relatie herschrijven tot:

 

LaTeX

 

Ga dat na!


#9

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2014 - 11:23

Check! Maar is het dan voldoende om te zeggen z = x- 3y en t = 2y-1? En dan te zeggen dat dit een instantie van Pell equation? Niet elke integere oplossing van z en t leidt tot een integere oplossing van x en y toch?

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 augustus 2014 - 13:32

Als je nou aantoont dat alle oplossingen voor t oneven zijn...

#11

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2014 - 15:18

een integere oplossing van x en y toch?

Dit lijkt mij een anglicisme in het kwadraat. Bedenk dat het Engelse woord integer in het Nederlands "geheel getal" betekent, en dat je dus spreekt over geheeltallige oplossingen. Zoek voor de aardigheid eens de betekenis van het Nederlandse woord integer op.

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#12

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 augustus 2014 - 22:30

Dus als ik kan laten zien dat t = 2y - 1 is even, dan weet ik ook dat y een geheeltallig getal moet zijn. En dan volgt dat x ook een geheeltallig getal moet zijn en dan zijn we klaar.

Echter, zoals aangegeven moet je aantonen dat de geheeltallige oplossingen van t oneven zijn. Het feit dat er oneindig veel geheeltalloge oplossingen zijn lijkt mij niet genoeg om te zeggen dat je ook oneven geheeltallige oplossingen hebt.... Maar dat was helaas ook mijn enige idee. Kun je mij verder helpen?

#13

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2014 - 10:16

Stel eerst x even, zeg x = 2k en y oneven, zeg y = 2m+1, waarbij y een deler is van x2-1 en bepaal daarmee het verband tussen x en y. Doe hetzelfde voor het geval x oneven is, zeg x = 2k+1 en y even, zeg y = 2m.

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#14

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2014 - 16:44

Ik zou dan zeggen: als ik x een even (geheeltallig) getal is, dan moet y ook een geheeltallig getal zijn, anders kun je niet oneidnig veel geheeltallige oplossingen van z hebben. Maar als dat het geval is, dan is t ook oneven, door de constructie van t, namelijk t = 2y -1. Voor oneven kan ik ook wel zoiets opschrijven, maar dat is denk ik niet wat je bedoelt, toch?

#15

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2460 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2014 - 16:52

Ik zou dan zeggen: als ik x een even (geheeltallig) getal is, dan moet y ook een geheeltallig getal zijn, anders kun je niet oneidnig veel geheeltallige oplossingen van z hebben. Maar als dat het geval is, dan is t ook oneven, door de constructie van t, namelijk t = 2y -1. Voor oneven kan ik ook wel zoiets opschrijven, maar dat is denk ik niet wat je bedoelt, toch?

Jawel, dit is wat ik bedoel. Kijk eens wat je krijgt als je veronderstelt dat x oneven is.

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures