[wiskunde] vergelijking met 2 onbekenden

lucca

laat zien dat

\(\frac{x^2-1}{y} + y + 8 = 6x \)

oneindig veel oplossingen heeft (x,y) waarbij x en y geheeltallig zijn.

Hierbij dacht ik aan, kies x vast en geef uitdrukking voor y, dat geeft:

\( y = 3x - 4 \pm \sqrt{17-24x+8x^2} \)

Nu is 3x-4 altijd geheeltallig en dus is het voldoende om te laten zien dat er altijd wel x'en zijn te vinden waarvoor het wortel gedeelte een geheel getal wordt; dus 17-24x+8x^2 leidt tot een getal^2. Ik zie dat het geldt voor x=1,2,4,16,86,......(ik zie het patroon niet) Weet iemand hoe ik dit kan laten zien?

Th.B

Waar komt die opgave vandaan..?

Het helpt misschien om x naar 1 kant te brengen ipv y.

lucca

hmm... ik heb het geprobeerd; dan krijg ik:

\( x =3y\pm\sqrt{8y^2 -8y + 1} \)

Dus het is voldoende als ik kan laten zien dat er altijd wel integere getallen y en g te vinden zijn waarvoor geldt:

\( 8y^2 -8y +1 = g^2 \)

.

beetje herschrijven geeft:

\( 8((y-0.5)^2 -0.25) + 1 = g^2 \)

\( 8( z^2 ) - 1 = g^2 \)

Dit is een vorm van de (negatieve) Pell's vergelijking en daarvan weten we dat er oneindig veel integere oplossingen zijn, dus klaar?

Th.B

Ik zat ook al te klooien met Pell, maar dat lukt denk ik niet. Als z geheel is, is y = z + 0,5 dat juist niet.

mathfreak

Vermenigvuldig eerst eens links en rechts met y en werk dat vervolgens eens om naar de gedaante y = ...

Th.B

Mathfreak, dat is al gedaan in post 1...

Even voor de duidelijkheid: alles wat ik hier post is slechts mijn gedachtegang en wellicht niet een hint naar de oplossing. Ik heb zelf geen bewijs en ik probeer mee te denken. Heeft mathfreak misschien wel een bewijs?

Th.B

Heeft niemand dan de oplossing? Ik ben toch wel benieuwd eigenlijk.

Safe

Met y ongelijk 0 kan je de relatie herschrijven tot:

\((x-3y)^2-2(2y-1)^2=-1\)

Ga dat na!

lucca

Check! Maar is het dan voldoende om te zeggen z = x- 3y en t = 2y-1? En dan te zeggen dat dit een instantie van Pell equation? Niet elke integere oplossing van z en t leidt tot een integere oplossing van x en y toch?

EvilBro

Als je nou aantoont dat alle oplossingen voor t oneven zijn...

mathfreak

lucca schreef: een integere oplossing van x en y toch?

Dit lijkt mij een anglicisme in het kwadraat. Bedenk dat het Engelse woord integer in het Nederlands "geheel getal" betekent, en dat je dus spreekt over geheeltallige oplossingen. Zoek voor de aardigheid eens de betekenis van het Nederlandse woord integer op.

lucca

Dus als ik kan laten zien dat t = 2y - 1 is even, dan weet ik ook dat y een geheeltallig getal moet zijn. En dan volgt dat x ook een geheeltallig getal moet zijn en dan zijn we klaar.

Echter, zoals aangegeven moet je aantonen dat de geheeltallige oplossingen van t oneven zijn. Het feit dat er oneindig veel geheeltalloge oplossingen zijn lijkt mij niet genoeg om te zeggen dat je ook oneven geheeltallige oplossingen hebt.... Maar dat was helaas ook mijn enige idee. Kun je mij verder helpen?

mathfreak

Stel eerst x even, zeg x = 2k en y oneven, zeg y = 2m+1, waarbij y een deler is van x²-1 en bepaal daarmee het verband tussen x en y. Doe hetzelfde voor het geval x oneven is, zeg x = 2k+1 en y even, zeg y = 2m.

lucca

Ik zou dan zeggen: als ik x een even (geheeltallig) getal is, dan moet y ook een geheeltallig getal zijn, anders kun je niet oneidnig veel geheeltallige oplossingen van z hebben. Maar als dat het geval is, dan is t ook oneven, door de constructie van t, namelijk t = 2y -1. Voor oneven kan ik ook wel zoiets opschrijven, maar dat is denk ik niet wat je bedoelt, toch?

mathfreak

lucca schreef: Ik zou dan zeggen: als ik x een even (geheeltallig) getal is, dan moet y ook een geheeltallig getal zijn, anders kun je niet oneidnig veel geheeltallige oplossingen van z hebben. Maar als dat het geval is, dan is t ook oneven, door de constructie van t, namelijk t = 2y -1. Voor oneven kan ik ook wel zoiets opschrijven, maar dat is denk ik niet wat je bedoelt, toch?

Jawel, dit is wat ik bedoel. Kijk eens wat je krijgt als je veronderstelt dat x oneven is.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] vergelijking met 2 onbekenden

vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden

Re: vergelijking met 2 onbekenden