[wiskunde] Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

NW_

Hallo,

Ik had graag de punten berekend waarin de raaklijn horizontaal is voor de cirkel met poolvergelijking:

r = 2 R cos t

Probleem is dat ik iets teveel punten met een horizontale raaklijn bekom. Mijn uitwerking:

Horizontale raaklijn => y' = 0

Berekening van y' leverde mij:

y' = -cot (2t)

=> - cot 2t = 0 => 2t = pi/2 +k*pi => t = pi/4 + k*(pi/2)

Hierbij bekom ik de punten waar een horizontale raaklijn zou moeten zijn: pi/4 3pi/4 5pi/4 en 7pi/4

Hoe komt het dat ik ook oplossingen verkrijg bij 3pi/4 en 5pi/4. De raaklijn aan de cirkel is hier immers niet horizontaal!

Hetzelfde probleem ondervindt ik ook bij het berekenen van de verticale raaklijnen.

Safe

Je moet allereerst weten dat een polaire voorstelling bepaald wordt door de voerstraal r, die linksom rondgaat met hoek t. Bekijk bv r=1 (dus constant)

Deze r is daarbij ook afh van t. Immers bij t=pi/2 is r=0.
Verder volgt ook: x(t)=rcos(t) en y(t)=rsin(t)
Wat is de periode van de rondgang?
Probeer het nu nog eens ...

sensor

Bij t = 0 vinden we r=2
bij t = pi/4 vinden we 0.7

We krijgen een figuur met middelpunt 1,0

Safe

Prima grafiek! Je hebt (zonder te vermelden) R=1 gekozen!
Maar kom je nu verder en wat is de periode?

NW_

Safe: ik weet niet precies wat je bedoelt. Ik heb eens r laten bereken voor een aantal hoeken:

t = 0 => r = 2R

t = pi/2 => r = 0

t = pi => r = -2R

t = 3pi/2 = 0

t = 2pi => r = 2R

Hieruit zou ik kunnen concluderen dat de periode 2 pi is?

Safe

Noteer eens: r=2Rcos(t)
x(t)=rcos(t)=...
y(t)=rsin(t)=...

NW_

r = 2R cos t

x(t) = r cos(t)*cos(t) en
y(t) = r cos(t)*sin(t)

Hoe helpt dit mij vooruit?

Safe

NW_ schreef: r = 2R cos t

x(t) =r cos(t)*cos(t) en
y(t) = r cos(t)*sin(t)

Hoe helpt dit mij vooruit?

Het moet zijn:
x(t)=2Rcos²(t)=...
y(t)=2Rcos(t)sin(t)=Rsin(2t)

schrijf ook cos²(t) in de verdubbelingsvorm

Je kan nu toch (op normale wijze) de extremen zoeken... , bovendien moet de periode nu duidelijk zijn!

NW_

Het afleiden levert geen problemen hoor. Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t . Probleem is dat ik de periode niet zie.

Safe

NW_ schreef: Probleem is dat ik de periode niet zie.

Wat is de periode van sin(2t)?

Wat heb je nu voor x(t)=...

Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t .

Wat heb je hier gedaan? dy/dx of dy/dt ...

NW_

met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx

De sinus van 2t is pi. Is het nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?

Safe

NW_ schreef: De sinus van 2t is pi. Is het nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?

Wat bedoel je? Teken nu kromme door t van 0 tot pi te laten gaan ...

met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx

Heb je nu de ptn die je zoekt ook kunnen vinden ...

NW_

Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi. Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.

Safe

NW_ schreef: Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi.

Als y(t) een functie is van cos(2t), begrijp je het dan wel?
Zo ja, schrijf y(t) als functie van ...

NW_ schreef: Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.

Nee, een algemene methode bestaat uit: onderzoek x(t) en y(t)

De waarden van t voor de horizontale raaklijn kloppen.

Opm: Het is niet nodig dy/dx te bepalen, dy/dt en dx/dt volstaan voor jouw doel! Waarom?

NW_

Het zou inderdaad volstaan enkel dy/dt en dx/dt te berekenen. Een horizontale raaklijn wordt bekomen indien dy/dx=0. Hiervoor moet dy/dt 0 worden, en dx/dt mag geen nul worden.

Na afleiding vind ik dat:

dy/dt= 2R cos(t)= 0 of dus cos(2t) = 0, waarna hetzelfde resultaat bekomen wordt voor de punten met een horizontale raaklijn.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[wiskunde] Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel

Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel