Springen naar inhoud

Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel



  • Log in om te kunnen reageren

#1

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 augustus 2014 - 21:53

Hallo,

 

Ik had graag de punten berekend waarin de raaklijn horizontaal is voor de cirkel met poolvergelijking:

 

r = 2 R cos t

 

Probleem is dat ik iets teveel punten met een horizontale raaklijn bekom. Mijn uitwerking:

 

Horizontale raaklijn => y' = 0

 

Berekening van y' leverde mij:

 

y' = -cot (2t)

 

=> - cot 2t = 0 => 2t = pi/2 +k*pi => t = pi/4 + k*(pi/2)

 

Hierbij bekom ik de punten waar een horizontale raaklijn zou moeten zijn: pi/4 3pi/4 5pi/4 en 7pi/4

 

Hoe komt het dat ik ook oplossingen verkrijg bij 3pi/4 en 5pi/4. De raaklijn aan de cirkel is hier immers niet horizontaal!

 

Hetzelfde probleem ondervindt ik ook bij het berekenen van de verticale raaklijnen.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 augustus 2014 - 09:21

Je moet allereerst weten dat een polaire voorstelling bepaald wordt door de voerstraal r, die linksom rondgaat met hoek t. Bekijk bv r=1 (dus constant)

 

Deze r is daarbij ook afh van t. Immers bij t=pi/2 is r=0.

Verder volgt ook: x(t)=rcos(t) en y(t)=rsin(t)

Wat is de periode van de rondgang?

Probeer het nu nog eens ...

Veranderd door Safe, 11 augustus 2014 - 09:23


#3

sensor

    sensor


  • >100 berichten
  • 121 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 augustus 2014 - 12:24

Bij t = 0     vinden we r=2

bij t = pi/4 vinden we 0.7

 

We krijgen een figuur met middelpunt 1,0

Bijgevoegde miniaturen

  • grafiek.png

Veranderd door sensor, 11 augustus 2014 - 12:34


#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 11 augustus 2014 - 13:39

Prima grafiek! Je hebt (zonder te vermelden) R=1 gekozen!

Maar kom je nu verder en wat is de periode?

Veranderd door Safe, 11 augustus 2014 - 13:41


#5

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 augustus 2014 - 15:57

Safe: ik weet niet precies wat je bedoelt. Ik heb eens r laten bereken voor een aantal hoeken:

 

 

t = 0 => r = 2R

 

t = pi/2 => r = 0

 

t = pi => r = -2R

 

t = 3pi/2 = 0

 

t = 2pi => r = 2R

 

Hieruit zou ik kunnen concluderen dat de periode 2 pi is?


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 augustus 2014 - 17:29

Noteer eens: r=2Rcos(t)

x(t)=rcos(t)=...

y(t)=rsin(t)=...


#7

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 10:00

r = 2R cos t

 

x(t) = r cos(t)*cos(t) en

y(t) = r cos(t)*sin(t)

 

Hoe helpt dit mij vooruit?


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 10:08

r = 2R cos t

 

x(t) =r cos(t)*cos(t) en

y(t) = r cos(t)*sin(t)

 

Hoe helpt dit mij vooruit?

Het moet zijn:

x(t)=2Rcos2(t)=...

y(t)=2Rcos(t)sin(t)=Rsin(2t)

 

schrijf ook cos2(t) in de verdubbelingsvorm

 

Je kan nu toch (op normale wijze) de extremen zoeken... , bovendien moet de periode nu duidelijk zijn!


#9

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 10:21

Het afleiden levert geen problemen hoor. Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t . Probleem is dat ik de periode niet zie.


#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 11:01

 Probleem is dat ik de periode niet zie.

Wat is de periode van sin(2t)?

 

Wat heb je nu voor x(t)=...

 

Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t .

Wat heb je hier gedaan? dy/dx of dy/dt ...


#11

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 11:41

met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx

 

De sinus van 2t is pi. Is het  nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 12:22

De sinus van 2t is pi. Is het  nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?

Wat bedoel je? Teken nu kromme door t van 0 tot pi te laten gaan ...

 

met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx

 

Heb je nu de ptn die je zoekt ook kunnen vinden ...


#13

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 21:53

Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi. Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.

#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 augustus 2014 - 09:12

Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi.

 

Als y(t) een functie is van cos(2t), begrijp je het dan wel?

Zo ja, schrijf y(t) als functie van ...

 

 Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.

 

Nee, een algemene methode bestaat uit: onderzoek x(t) en y(t)

 

De waarden van t voor de horizontale raaklijn kloppen.

 

Opm: Het is niet nodig dy/dx te bepalen, dy/dt en dx/dt volstaan voor jouw doel! Waarom?

Veranderd door Safe, 21 augustus 2014 - 09:14


#15

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2014 - 09:50

Het zou inderdaad volstaan enkel dy/dt en dx/dt te berekenen. Een horizontale raaklijn wordt bekomen indien dy/dx=0. Hiervoor moet dy/dt 0 worden, en dx/dt mag geen nul worden.

Na afleiding vind ik dat:

dy/dt= 2R cos(t)= 0 of dus cos(2t) = 0, waarna hetzelfde resultaat bekomen wordt voor de punten met een horizontale raaklijn.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures