[wiskunde] Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 772
Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Hallo,
Ik had graag de punten berekend waarin de raaklijn horizontaal is voor de cirkel met poolvergelijking:
r = 2 R cos t
Probleem is dat ik iets teveel punten met een horizontale raaklijn bekom. Mijn uitwerking:
Horizontale raaklijn => y' = 0
Berekening van y' leverde mij:
y' = -cot (2t)
=> - cot 2t = 0 => 2t = pi/2 +k*pi => t = pi/4 + k*(pi/2)
Hierbij bekom ik de punten waar een horizontale raaklijn zou moeten zijn: pi/4 3pi/4 5pi/4 en 7pi/4
Hoe komt het dat ik ook oplossingen verkrijg bij 3pi/4 en 5pi/4. De raaklijn aan de cirkel is hier immers niet horizontaal!
Hetzelfde probleem ondervindt ik ook bij het berekenen van de verticale raaklijnen.
Ik had graag de punten berekend waarin de raaklijn horizontaal is voor de cirkel met poolvergelijking:
r = 2 R cos t
Probleem is dat ik iets teveel punten met een horizontale raaklijn bekom. Mijn uitwerking:
Horizontale raaklijn => y' = 0
Berekening van y' leverde mij:
y' = -cot (2t)
=> - cot 2t = 0 => 2t = pi/2 +k*pi => t = pi/4 + k*(pi/2)
Hierbij bekom ik de punten waar een horizontale raaklijn zou moeten zijn: pi/4 3pi/4 5pi/4 en 7pi/4
Hoe komt het dat ik ook oplossingen verkrijg bij 3pi/4 en 5pi/4. De raaklijn aan de cirkel is hier immers niet horizontaal!
Hetzelfde probleem ondervindt ik ook bij het berekenen van de verticale raaklijnen.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Je moet allereerst weten dat een polaire voorstelling bepaald wordt door de voerstraal r, die linksom rondgaat met hoek t. Bekijk bv r=1 (dus constant)
Deze r is daarbij ook afh van t. Immers bij t=pi/2 is r=0.
Verder volgt ook: x(t)=rcos(t) en y(t)=rsin(t)
Wat is de periode van de rondgang?
Probeer het nu nog eens ...
Deze r is daarbij ook afh van t. Immers bij t=pi/2 is r=0.
Verder volgt ook: x(t)=rcos(t) en y(t)=rsin(t)
Wat is de periode van de rondgang?
Probeer het nu nog eens ...
-
- Berichten: 331
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Bij t = 0 vinden we r=2
bij t = pi/4 vinden we 0.7
We krijgen een figuur met middelpunt 1,0
bij t = pi/4 vinden we 0.7
We krijgen een figuur met middelpunt 1,0
- Bijlagen
-
- grafiek.png (26.36 KiB) 548 keer bekeken
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Prima grafiek! Je hebt (zonder te vermelden) R=1 gekozen!
Maar kom je nu verder en wat is de periode?
Maar kom je nu verder en wat is de periode?
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Safe: ik weet niet precies wat je bedoelt. Ik heb eens r laten bereken voor een aantal hoeken:
t = 0 => r = 2R
t = pi/2 => r = 0
t = pi => r = -2R
t = 3pi/2 = 0
t = 2pi => r = 2R
Hieruit zou ik kunnen concluderen dat de periode 2 pi is?
t = 0 => r = 2R
t = pi/2 => r = 0
t = pi => r = -2R
t = 3pi/2 = 0
t = 2pi => r = 2R
Hieruit zou ik kunnen concluderen dat de periode 2 pi is?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Noteer eens: r=2Rcos(t)
x(t)=rcos(t)=...
y(t)=rsin(t)=...
x(t)=rcos(t)=...
y(t)=rsin(t)=...
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
r = 2R cos t
x(t) = r cos(t)*cos(t) en
y(t) = r cos(t)*sin(t)
Hoe helpt dit mij vooruit?
x(t) = r cos(t)*cos(t) en
y(t) = r cos(t)*sin(t)
Hoe helpt dit mij vooruit?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Het moet zijn:NW_ schreef: r = 2R cos t
x(t) =r cos(t)*cos(t) en
y(t) = r cos(t)*sin(t)
Hoe helpt dit mij vooruit?
x(t)=2Rcos2(t)=...
y(t)=2Rcos(t)sin(t)=Rsin(2t)
schrijf ook cos2(t) in de verdubbelingsvorm
Je kan nu toch (op normale wijze) de extremen zoeken... , bovendien moet de periode nu duidelijk zijn!
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Het afleiden levert geen problemen hoor. Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t . Probleem is dat ik de periode niet zie.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Wat is de periode van sin(2t)?NW_ schreef: Probleem is dat ik de periode niet zie.
Wat heb je nu voor x(t)=...
Wat heb je hier gedaan? dy/dx of dy/dt ...Uiteindelijk bekom ik y' = - cot 2t .
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx
De sinus van 2t is pi. Is het nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?
De sinus van 2t is pi. Is het nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Wat bedoel je? Teken nu kromme door t van 0 tot pi te laten gaan ...NW_ schreef: De sinus van 2t is pi. Is het nu de bedoeling om in x(t) t te laten varieren van 0 tot 2pi en te kijken wanneer dezelfde waarde van x(t) bekomen wordt?
Heb je nu de ptn die je zoekt ook kunnen vinden ...met y' bedoel ik de eerste afgeleide, dus (dy/dt / dx/dt). Dus dy/dx
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi. Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
NW_ schreef: Safe, ik begrijp niet echt hoe ik uitgaande van het feit dat de periode van sinus(2pi) gelijk is aan pi, kan afleiden dat de gegeven kromme 1 maal doorlopen wordt in het interval 0,pi.
Als y(t) een functie is van cos(2t), begrijp je het dan wel?
Zo ja, schrijf y(t) als functie van ...
NW_ schreef: Bestaat er een algemene methode om dit na te gaan in welk interval een gegeven poolkromme doorlopen wordt? Verder bekom ik een horizontale raaklijn in de punten pi/4 en 3pi/4 , indien ik aanneem dat t varieert tussen 0 en pi.
Nee, een algemene methode bestaat uit: onderzoek x(t) en y(t)
De waarden van t voor de horizontale raaklijn kloppen.
Opm: Het is niet nodig dy/dx te bepalen, dy/dt en dx/dt volstaan voor jouw doel! Waarom?
-
- Berichten: 772
Re: Bepaling horizontale raaklijn aan cirkel
Het zou inderdaad volstaan enkel dy/dt en dx/dt te berekenen. Een horizontale raaklijn wordt bekomen indien dy/dx=0. Hiervoor moet dy/dt 0 worden, en dx/dt mag geen nul worden.
Na afleiding vind ik dat:
dy/dt= 2R cos(t)= 0 of dus cos(2t) = 0, waarna hetzelfde resultaat bekomen wordt voor de punten met een horizontale raaklijn.
Na afleiding vind ik dat:
dy/dt= 2R cos(t)= 0 of dus cos(2t) = 0, waarna hetzelfde resultaat bekomen wordt voor de punten met een horizontale raaklijn.