Springen naar inhoud

Oppervlakte onder ellips



  • Log in om te kunnen reageren

#1

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 10:13

Ik heb de ellips gegeven door de parametervergelijking:

 

x = a cos t

y = b sin t

 

Voor de bepaling van de oppervlakte onder de ellips bepaal ik de oppervlakte van een vierde van de ellips (de oppervlakte in het eerste kwadrant) en vermenigvuldig ik met 4:

 

LaTeX

 

Hierbij bekom ik de grenzen als volgt:

 

integreren tussen de rechten met als vergelijking x = 0 en x = a. Dit substitueer ik in de parametervergelijking:

 

x = a cos t => bovengrens: 0 = a cos t => t = pi/2  Ondergrens: a = a cos t => cos t = 0 => t = 0

 

Probleem is dat als ik dit uitwerk als resultaat bekom:

 

LaTeX

 

Waar zit de fout?

 

Terwijl het juiste antwoord zou moeten zijn:

 

LaTeX


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 11:18

Hierbij bekom ik de grenzen als volgt:

 

integreren tussen de rechten met als vergelijking x = 0 en x = a. Dit substitueer ik in de parametervergelijking:

Als je van x: 0 tot a integreert, is 0 toch ondergrens ...


#3

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 11:20

hoe kom je aan die eerste integraal? dat min teken moet een plus teken zijn

correctie: dat min teken is wel goed, maar je grenzen zijn verkeerd

Veranderd door aadkr, 18 augustus 2014 - 11:28


#4

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 11:34

Aadkr,

 

De integraal bekom ik uitgaande van de parametervergelijking. De oppervlakte wordt onder een parametercurve als volgt bekomen (tussen grenzen t1 en t2):

 

LaTeX

 

Dus y(t) = b sin t t en x'(t) = -- a sin t

 

De integraal wordt dan:

 

LaTeX

 

Zo kom ik dus aan het negatieve teken.

 

Safe,

 

Inderdaad stomme fout, ik had mijn grenzen verkeerd genomen. De ondergrens komt overeen met t = pi/2 en de bovengrens met t = 0. Omdraaien van de grenzen ( van 0 tot pi) doet het minteken verdwijnen waardoor de ik de juiste oplossing bekom. Stom van me.

 

Bedankt voor de hulp!


#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 12:18

Ok, succes verder.


#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 18 augustus 2014 - 13:07

NW, er bestaat nog een andere methode om het oppervlak van een ellips te bepalen.

interesse ?


#7

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 16:15

Zeker, ik ben altijd bereid om wat bij te leren.

#8

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 16:42

de ellips was gegeven door de parametervergelijking:

x=a.cos(t)

y=b.sin(t)

hieruit valt de volgende vergelijking van de ellips af te leiden

LaTeX

zie je kans om deze laatste vergelijking af te leiden uit die parametervoorstelling van de ellips?


#9

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 19:35

Dit lukt hoor:

 

cos(t) = x/a en sin(t) = y/b

 

=> cos²(t)= x²/a² en sin²(t) =y²/b²

 

=> cos²(t)+sin²(t) = x²/a² + y²/b²

 

Of dus:

 

x²/a² + y²/b² = 1


#10

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 19:59

inderdaad.

nu gaan we de oppervlakte van de ellips berekenen in het eerste kwadrant

het eindresultaat dat we dan krijgen gaan we dan met 4 vermenigvuldigen om het totale oppervlak van de ellips te berekenen.

wat we nu gaan doen is y schrijven als funktie van x in dat eerste kwadrant.

welke formule krijgen we dan ?


#11

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 21:35

Bij het omvormen van de formule naar y wordt bekomen: LaTeX

Dit kan inderdaad ook relatief eenvoudig geintegreerd worden. Ik vind de te integreren functie bij de parametervorm toch wat eenvoudiger. Om de integraal te berekenen bij de cartesische vorm moet immers partiele integratie of een goniometrische substitutie toegepast woden, wat toch wat rekenwerk vergt.

Veranderd door NW_, 20 augustus 2014 - 21:40


#12

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 20 augustus 2014 - 22:56

dat ben ik met je eens.

ik heb zelf subsitutie toegepast:

LaTeX

 

Veranderd door aadkr, 20 augustus 2014 - 22:59


#13

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 augustus 2014 - 01:20

LaTeX

Merk op indien je volgende substitutie doet: LaTeX  
Wordt de integraal:
LaTeX
LaTeX
Wat dus die integraal van in de OP is. Het heeft hier dus weinig zin om over te gaan naar cartesische coördinaten. Want tijdens het oplossen van die integraal ga je (onrechtstreeks via die substitutie) weer over naar de parametervoorstelling.

 

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#14

NW_

    NW_


  • >250 berichten
  • 553 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 21 augustus 2014 - 09:15

Ik denk dat dus besloten kan worden dat de oppervlakte onder een ellips het eenvoudigst kan worden berekend uitgaande van de parametervoorstelling.






Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures