[wiskunde] Oppervlakte onder ellips

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 772

Oppervlakte onder ellips

Ik heb de ellips gegeven door de parametervergelijking:
 
x = a cos t
y = b sin t
 
Voor de bepaling van de oppervlakte onder de ellips bepaal ik de oppervlakte van een vierde van de ellips (de oppervlakte in het eerste kwadrant) en vermenigvuldig ik met 4:
 
\( S=-4ab \int \sin^2t dt\)
 
Hierbij bekom ik de grenzen als volgt:
 
integreren tussen de rechten met als vergelijking x = 0 en x = a. Dit substitueer ik in de parametervergelijking:
 
x = a cos t => bovengrens: 0 = a cos t => t = pi/2  Ondergrens: a = a cos t => cos t = 0 => t = 0
 
Probleem is dat als ik dit uitwerk als resultaat bekom:
 
\( S= -\pi ab\)
 
Waar zit de fout?
 
Terwijl het juiste antwoord zou moeten zijn:
 
\( S= \pi ab\)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Oppervlakte onder ellips

NW_ schreef: Hierbij bekom ik de grenzen als volgt:
 
integreren tussen de rechten met als vergelijking x = 0 en x = a. Dit substitueer ik in de parametervergelijking:
Als je van x: 0 tot a integreert, is 0 toch ondergrens ...

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Oppervlakte onder ellips

hoe kom je aan die eerste integraal? dat min teken moet een plus teken zijn
correctie: dat min teken is wel goed, maar je grenzen zijn verkeerd

Berichten: 772

Re: Oppervlakte onder ellips

Aadkr,
 
De integraal bekom ik uitgaande van de parametervergelijking. De oppervlakte wordt onder een parametercurve als volgt bekomen (tussen grenzen t1 en t2):
 
\( 4S = \int y(t) (x't) dt \)
 
Dus y(t) = b sin t t en x'(t) = -- a sin t
 
De integraal wordt dan:
 
\( S=-4ab \int\sin^2t dt \)
 
Zo kom ik dus aan het negatieve teken.
 
Safe,
 
Inderdaad stomme fout, ik had mijn grenzen verkeerd genomen. De ondergrens komt overeen met t = pi/2 en de bovengrens met t = 0. Omdraaien van de grenzen ( van 0 tot pi) doet het minteken verdwijnen waardoor de ik de juiste oplossing bekom. Stom van me.
 
Bedankt voor de hulp!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Oppervlakte onder ellips

Ok, succes verder.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Oppervlakte onder ellips

NW, er bestaat nog een andere methode om het oppervlak van een ellips te bepalen.
interesse ?

Berichten: 772

Re: Oppervlakte onder ellips

Zeker, ik ben altijd bereid om wat bij te leren.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Oppervlakte onder ellips

de ellips was gegeven door de parametervergelijking:
x=a.cos(t)
y=b.sin(t)
hieruit valt de volgende vergelijking van de ellips af te leiden
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
zie je kans om deze laatste vergelijking af te leiden uit die parametervoorstelling van de ellips?

Berichten: 772

Re: Oppervlakte onder ellips

Dit lukt hoor:
 
cos(t) = x/a en sin(t) = y/b
 
=> cos²(t)= x²/a² en sin²(t) =y²/b²
 
=> cos²(t)+sin²(t) = x²/a² + y²/b²
 
Of dus:
 
x²/a² + y²/b² = 1

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Oppervlakte onder ellips

inderdaad.
nu gaan we de oppervlakte van de ellips berekenen in het eerste kwadrant
het eindresultaat dat we dan krijgen gaan we dan met 4 vermenigvuldigen om het totale oppervlak van de ellips te berekenen.
wat we nu gaan doen is y schrijven als funktie van x in dat eerste kwadrant.
welke formule krijgen we dan ?

Berichten: 772

Re: Oppervlakte onder ellips

Bij het omvormen van de formule naar y wordt bekomen:
\( y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}} \)


Dit kan inderdaad ook relatief eenvoudig geintegreerd worden. Ik vind de te integreren functie bij de parametervorm toch wat eenvoudiger. Om de integraal te berekenen bij de cartesische vorm moet immers partiele integratie of een goniometrische substitutie toegepast woden, wat toch wat rekenwerk vergt.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.572

Re: Oppervlakte onder ellips

dat ben ik met je eens.
ik heb zelf subsitutie toegepast:
\(x=a \cdot \sin \varphi\)
 

Gebruikersavatar
Berichten: 1.264

Re: Oppervlakte onder ellips

aadkr schreef:
\(x=a \cdot \sin \varphi\)
Merk op indien je volgende substitutie doet:
\(x=a \cdot \cos \varphi\)
 
Wordt de integraal:
\(\int_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx=\int_\frac{\pi}{2}^0\frac{b}{a}\sqrt{a^2-a^2cos(x)^2}(-asin(x))dx\)
\(=-ab\int_\frac{\pi}{2}^0sin(x)^2dx\)
Wat dus die integraal van in de OP is. Het heeft hier dus weinig zin om over te gaan naar cartesische coördinaten. Want tijdens het oplossen van die integraal ga je (onrechtstreeks via die substitutie) weer over naar de parametervoorstelling.

 
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

Berichten: 772

Re: Oppervlakte onder ellips

Ik denk dat dus besloten kan worden dat de oppervlakte onder een ellips het eenvoudigst kan worden berekend uitgaande van de parametervoorstelling.

Reageer