Springen naar inhoud

Geometrische berekening aan cirkels


  • Log in om te kunnen reageren

#1

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 augustus 2014 - 23:48

Tijdens het tekenen van Keltische patronen kwam ik het volgende wiskundige probleem tegen waar ik op vast loop, zie de tekening beneden. De witte cirkels zijn gegeven, en nu wil ik de blauwe cirkel zodanig erin schuiven dat deze aan drie voorwaarden voldoet:

* De afstand van het centrum van de blauwe cirkel tot de oorsprong is 3/4R.

* De blauwe cirkel raakt de witte cirkel met centrum A = (1/2 R, 0) en straal r = 1/2 R

* De blauwe cirkel raakt de witte cirkel met centrum B = (0, 3/4 R) en straal r = 1/4 R

 

Geometric_calculation_circles.png

 

Dit kan ik in principe op twee manieren oplossen. De eerste is drie vergelijkingen opstellen, en hieruit de drie onbekenden LaTeX

, LaTeX en LaTeX bepalen. Eén vergelijking is eenvoudig:

LaTeX

Ik zie echter niet hoe ik de voorwaarden van rakende cirkels in een vergelijking moet omzetten. Kan iemand me hierbij helpen?

 

Veel oudheden staan erom bekend dat ze veel geometrische problemen met lineaal en passer konden oplossen. De Kelten blijken een van die volkeren te zijn. Er is dus wellicht ook een oplossing te construeren met hulplijnen etc. waaruit je het centrum en de straal kunt bepalen. Ik zie echter niet welke hulplijnen en/of hulpcirkels ik hiervoor moet gebruiken. Iemand die hier meer ervaring mee heeft?

 

p.s. Aangezien ik de tekening zelf gemaakt heb, lijkt het dat ik de oplossing weet. Ik heb hem echter 'op het oog' ingetekend, dus heb alleen een benadering van het juiste antwoord: LaTeX


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 23 augustus 2014 - 11:59

Hebben A en B een vaste afstand?


#3

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 augustus 2014 - 12:07

Ja, de coördinaten zijn gegeven door TS.

 

Dit alles doet me wat denken aan het construeren van een punt op een hyperbool. Voor het middelpunt M van de cirkel geldt dat l MB - MA l = r/4.

 

Edit: als je dus de cirkel met straal r/4 rond A tekent is dat de richtcirkel voor de juiste tak van de hyperbool met brandpunten A en B. Je moet dan het punt op die hyperbool construeren wat ook precies op die cirkel met straal 3r/4 ligt.

 

Edit: voor het gezochte punt M krijg je dan in ieder geval twee extra vergelijkingen die niet heel moeilijk op te stellen zijn. Of je dan het stelsel op kan lossen weet ik niet, maar daar mag TS zelf naar kijken. Ik wil eerst verder denken over een mogelijke constructie.

Veranderd door Th.B, 23 augustus 2014 - 14:41


#4

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 augustus 2014 - 14:08

De twee andere vergelijkingen zouden dan zijn:

LaTeX

LaTeX

 

Invullen van de coördinaten die we al weten, z.v.v.a. LaTeX

stellen, subscript C laten vallen en de eerste vergelijking meenemen, levert de volgende drie vergelijkingen op:

(1) LaTeX

(2) LaTeX

(3) LaTeX

 

Het oplossen van dit stelsel is nog lastig. Het rekenprogramma wxMaxima geeft geen oplossingen. Ik weet niet of dit betekent dat er geen oplossingen mogelijk zijn, maar aan de hand van mijn tekening in de openingspost weiger ik dit te geloven. Ik probeer het hardcore met de hand uit te schrijven, maar dat wordt al gauw een pittig karwei.

 

De derde vergelijking omschrijven naar LaTeX

:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

 

Deze invullen in de tweede vergelijking:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

 

Deze vergelijking omschrijven naar y (rekenfouten niet uitgesloten):

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

 

Dit invullen om LaTeX

te bepalen:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

 

Nu LaTeX

en LaTeX invullen in vergelijking 1:

LaTeX

LaTeX

En hier loop ik vast. Waarschijnlijk komt er een achtstegraadsvergelijking uit, die zowel ik als wxMaxima niet kan uitrekenen.


#5

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 augustus 2014 - 14:19

Een kleine doorbraak: wanneer ik de drie vergelijkingen eerst kwadrateer, en dan aan wxMaxima geef, weet hij er wel raad mee. Hij vindt twee reële oplossingen en twee oplossingen met negatieve r, welke niet zijn toegestaan.

 

x=-0.74505649717514,y=0.085969307860946,r=0.74802110817942,

x=0.3873355854237,y=0.64223918575064,r= 0.1520463260036,

x=-0.50609968630185,y=-0.55350078204067,r=-1.648303000491884,

x=0.61529994496423,y=0.42884259478954,r=-0.94407216494845

 

De tweede oplossing is de oplossing waar ik naar zocht. Ik had een rekenfout gemaakt in mijn schatting in de openingspost, de coördinaten waren daar een factor 2 te klein.

 

Een oplossing door constructie is nog steeds interessant om te bemachtigen natuurlijk!


#6

Th.B

    Th.B


  • >250 berichten
  • 523 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 augustus 2014 - 19:46

Die constructie valt nog niet mee...

 

Ik heb al wat geprobeerd, maar ik betwijfel of het mogelijk is om dat punt te vinden. Ook het internet laat me hier in de steek, het lijkt er niet op dat je zomaar een punt op een hyperbool kan construeren wat ook nog op een andere gegeven curve ligt.

Veranderd door Th.B, 24 augustus 2014 - 19:51


#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 augustus 2014 - 07:29

Ik heb wat geprobeerd met circle inversion, maar daar liep ik op vast.

Via de directe weg krijg ik een vierdegraadsvergelijking:
LaTeX
Octave geeft dan als oplossing o.a.: 0.152046330127260





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures