Springen naar inhoud

overgaan naar poolcoordinaten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 11:04

Hallo iedereen, wat doe ik verkeerd bij de onderstaande overgang naar poolcoordinaten?

int(int(x^2+y^2,y=0..sqrt(1-(1-x)^2)),x=0..1);
       
 
                  
int(int(r^3,r=1/2..1),theta=0..Pi);
                          
 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

descheleschilder

    descheleschilder


  • >1k berichten
  • 1165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 12:41

Bedoel je een dubbele integraal? met int(int? Ik neem aan van wel. En wat betekent de dubbele punt? Dat het tweede gedeelte bij het eerste hoort? Dat snap ik niet zo goed? Zou je het iets duidelijker kunnen maken?

Volgens mij moet je in plaats van r3, r2 (een cirkel in het xz-vlak) invullen. Als x2+y2=0 waarom is y dan nul?

Zou je iets meer duidelijkheid kunnen scheppen?

Je zou eens moeten googlen op de Jacobi determinant, handig bij overgang van het ene stelsel coördinaten naar het andere. Het geeft de factoren weer, in de nieuwe coördinaten, waar je de nieuwe coördinaten mee moet vermenigvuldigen om berekeningen met de nieuwe coördinaten te doen. 

Veranderd door descheleschilder, 30 augustus 2014 - 12:48

Ik lach en dans, dus ik ben; bovendien blijft ondanks de wetenschap het mysterie bestaan!

#3

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 14:48

tommeke, misschien is het verstandig dat je je eerst verdiept in de Latex code

die cursus is op het forum te vinden.

Veranderd door aadkr, 30 augustus 2014 - 14:49


#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 14:56

Dat is de notatie die in maple gebruikt wordt, in latex:
LaTeX


LaTeX

Bij deze oefening krijg je het probleem dat de grenzen voor de straal afhankelijk van theta zijn. Dit komt omdat het gebied waarover je integreert niet een cirkel rond de oorsprong is. Bekijk die eerste integraal eens. Over welk gebied in het xy vlak integreer je? Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.

Er zijn verschillende manieren om dit probleem op te lossen. Je kan bijvoorbeeld kijken welke straal er bij welke theta hoort. Of je kan een slimme coördinaatverschuiving toepassen voordat je naar poolcoördinaten overgaat  zodat die afhankelijkheid wegvalt. Dat laatste vind ik persoonlijk het makkelijkste. Als je voor die eerste optie kiest moet je namelijk de integraal nog in twee delen opsplitsen.

Veranderd door Flisk, 30 augustus 2014 - 16:34

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 16:47

i.v.m. met die coordinaatsverschuiving: is dat dat dan bij de eerste integraal x vervangen door x+1? (zowel bij de grenzen als bij de functie?)


#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 16:54

Uw latex is onduidelijk, als je van ergens anders kopieert en plakt, gebruik dan plakken zonder opmaak (rechts klikken en plakken zonder opmaak). Die coördinaatverschuiving klopt wel trouwens. Wat zijn nu je grenzen na over te gaan op poolcoördinaten? Als je het gebied eens plot zoals ik in die tip aangaf, zie je heel makkelijk in wat de grenzen zijn.

EDIT: ik zie dat je latex hebt verwijderd uit je post.
Er stond:
LaTeX


En dit was juist.

Veranderd door Flisk, 30 augustus 2014 - 17:00

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 17:38

Ah, ok. Heel erg bedankt!

De transformatie naar poolcoördinaten is dan:
LaTeX
 
(sorry voor de latex code, ik ben daar niet zo vertrouwd mee)

Veranderd door physicalattraction, 31 augustus 2014 - 08:07


#8

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:16

En zou iemand ook het antwoord weten op deze vraag?

D is het gebied onder de bol met straal 1 en middelpunt (0,0,1) en boven kegel z= sqrt(x^2+y^2). Bereken het volume van D.

Ik had gedacht om dit zo te doen:

 

ik zou via de symmetrie mij baseren op enkel het eerste octant en dan de uitkomst maal 4 doen.

m.a.w.

 

LaTeX

Veranderd door tommeke12, 30 augustus 2014 - 18:24


#9

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:25

Laten we eerst ons bezighouden met de vorige vraag. Je had dit:

 

De transformatie naar poolcoördinaten is dan:
LaTeX  

 

Het integrandum is bijna juist. Nu heb je enkel LaTeX

vermenigvuldigd met die extra r. Ik denk dat je haakjes bent vergeten plaatsen, want de eerste term moet ook vermenigvuldigd worden met r.

De grenzen kloppen nog altijd niet. Je wilt grenzen voor r en theta, nu heb je gewoon nog de grenzen voor x en y staan.

Ik blijf erbij dat die tip gegeven in bericht 4 het makkelijkste is om die grenzen te vinden, nl:

Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.

Hiervoor kijk je dus naar de oorspronkelijke integraal. Daarvoor weet je: x gaat van 0 tot 1 en y gaat van 0 tot LaTeX

Plot dat eens, kijk naar die figuur. Beredeneer dan waarom je de substitutie x=u+1 hebt doorgevoerd (die coördinaatverschuiving) en welke grenzen dit geeft voor r en theta als je daarna overgaat naar poolcoördinaten.

Veranderd door Flisk, 30 augustus 2014 - 18:37

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#10

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:36

Laten we eerst ons bezighouden met de vorige vraag. Je had dit:

 

 

Het integrandum is bijna juist. Nu heb je enkel LaTeX

vermenigvuldigd met die extra r. Ik denk dat je haakjes bent vergeten plaatsen, want de eerste term moet ook vermenigvuldigd worden met r.

De grenzen kloppen nog altijd niet. Je wilt grenzen voor r en theta, nu heb je gewoon nog de grenzen voor x en y staan.
 

Ik had inderdaad de haakjes vergeten. En de grenzen voor r kloppen toch? die gaat volgens mij van 0 tot 1. En de grenzen voor theta gaan van 0 tot Pi. 


#11

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:44

Ik had inderdaad de haakjes vergeten. En de grenzen voor r kloppen toch? die gaat volgens mij van 0 tot 1. En de grenzen voor theta gaan van 0 tot Pi. 

Grens voor r klopt, die voor theta niet. Heb je al eens dat gebied bekeken?

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#12

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:48

Grens voor r klopt, die voor theta niet. Heb je al eens dat gebied bekeken?

Voor de coördinatentransformatie gaan ze van 0 tot Pi/2, na de transformatie van 0 tot Pi toch?


#13

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 18:52

Nee, controleer maar eens met maple.
En:

Ik blijf erbij dat die tip gegeven in bericht 4 het makkelijkste is om die grenzen te vinden namelijk:
Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.

Hiervoor kijk je dus naar de oorspronkelijke integraal. Daarvoor weet je: x gaat van 0 tot 1 en y gaat van 0 tot LaTeX

Plot dat eens, kijk naar die figuur. Beredeneer dan waarom je de substitutie x=u+1 hebt doorgevoerd (die coördinaatverschuiving) en welke grenzen dit geeft voor r en theta als je daarna overgaat naar poolcoördinaten.

Weet je hoe je dat gebied bekijkt? Weet je wat een gebied is? Anders leg ik het even uit. Bij dit soort oefeningen is het heel belangrijk dat je begrijpt wat je allemaal doet. Dat maakt het allemaal veel makkelijker. Weet je waarom we het integrandum vermenigvuldigen met r na de transformatie naar poolcoördinaten?

Veranderd door Flisk, 30 augustus 2014 - 18:55

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#14

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 19:04

De grafiek LaTeX

is een halve cirkel rond het punt x=1. En we voerden een coördinatentransformatie in om ervoor te zorgen dat je theta zich rond de oorsprong bevindt. We vermenigvuldigen de integraal met r ten gevolgen van de Jacobiaan (dit is een soort correctie omdat je een coordinatentransformatie doorvoert). Maar ik heb inderdaad wat moeite om tekeningen te maken (vooral bij de moeilijker voorbeelden zoals die andere oefening die ik hierop zette)

Veranderd door physicalattraction, 31 augustus 2014 - 08:08
Onnodige quote verwijderd, LaTeX opgepoetst


#15

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 augustus 2014 - 19:14

Ok dat klopt ongeveer. We hebben die transformatie x=u+1 uitgevoerd zodat het middelpunt van die cirkel samenvalt met de nieuwe oorsprong (m.a.w. we hebben de hele boel verschoven). Dit geeft ons het voordeel dat r niet meer afhangt van theta. Nu moeten we de grenzen voor r en theta vinden. Die van r had je al juist, het is immers een cirkel met straal 1.

Nu voor die theta. We weten dat er voor de originele integraal geldt: y gaat van 0 tot aan de grafiek. En x gaat van 0 tot 1. Welk stuk van de cirkel is dit precies? Eens je die vraag oplost, weet wat de grenzen voor theta zijn.

Als je het vind, zal ik eens tonen hoe je diezelfde integraal oplost zonder die substitutie x=u+1 (dus zonder dat je alles verschuift).

Veranderd door Flisk, 30 augustus 2014 - 19:15

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures