overgaan naar poolcoordinaten

tommeke12

Hallo iedereen, wat doe ik verkeerd bij de onderstaande overgang naar poolcoordinaten?

int(int(x^2+y^2,y=0..sqrt(1-(1-x)^2)),x=0..1);

int(int(r^3,r=1/2..1),theta=0..Pi);

descheleschilder

Bedoel je een dubbele integraal? met int(int? Ik neem aan van wel. En wat betekent de dubbele punt? Dat het tweede gedeelte bij het eerste hoort? Dat snap ik niet zo goed? Zou je het iets duidelijker kunnen maken?
Volgens mij moet je in plaats van r³, r²(een cirkel in het xz-vlak) invullen. Als x²+y²=0 waarom is y dan nul?
Zou je iets meer duidelijkheid kunnen scheppen?
Je zou eens moeten googlen op de Jacobi determinant, handig bij overgang van het ene stelsel coördinaten naar het andere. Het geeft de factoren weer, in de nieuwe coördinaten, waar je de nieuwe coördinaten mee moet vermenigvuldigen om berekeningen met de nieuwe coördinaten te doen.

aadkr

tommeke, misschien is het verstandig dat je je eerst verdiept in de Latex code
die cursus is op het forum te vinden.

Flisk

Dat is de notatie die in maple gebruikt wordt, in latex:

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-(1-x)^2}}x^2+y^2dydx\)

\(\int_{0}^{\pi}\int_{\frac{1}{2}}^{1}r^3drd\theta\)

Bij deze oefening krijg je het probleem dat de grenzen voor de straal afhankelijk van theta zijn. Dit komt omdat het gebied waarover je integreert niet een cirkel rond de oorsprong is. Bekijk die eerste integraal eens. Over welk gebied in het xy vlak integreer je? Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.

Er zijn verschillende manieren om dit probleem op te lossen. Je kan bijvoorbeeld kijken welke straal er bij welke theta hoort. Of je kan een slimme coördinaatverschuiving toepassen voordat je naar poolcoördinaten overgaat zodat die afhankelijkheid wegvalt. Dat laatste vind ik persoonlijk het makkelijkste. Als je voor die eerste optie kiest moet je namelijk de integraal nog in twee delen opsplitsen.

tommeke12

i.v.m. met die coordinaatsverschuiving: is dat dat dan bij de eerste integraal x vervangen door x+1? (zowel bij de grenzen als bij de functie?)

Flisk

Uw latex is onduidelijk, als je van ergens anders kopieert en plakt, gebruik dan plakken zonder opmaak (rechts klikken en plakken zonder opmaak). Die coördinaatverschuiving klopt wel trouwens. Wat zijn nu je grenzen na over te gaan op poolcoördinaten? Als je het gebied eens plot zoals ik in die tip aangaf, zie je heel makkelijk in wat de grenzen zijn.

EDIT: ik zie dat je latex hebt verwijderd uit je post.

Er stond:

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}(x+1)^2+y^2dydx\)

En dit was juist.

tommeke12

Ah, ok. Heel erg bedankt!

De transformatie naar poolcoördinaten is dan:

\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-(r \cos(\theta))^2}}(r \cos(\theta)+1)^2+(r \sin(\theta))^2 r d\theta dr\)

(sorry voor de latex code, ik ben daar niet zo vertrouwd mee)

tommeke12

En zou iemand ook het antwoord weten op deze vraag?

D is het gebied onder de bol met straal 1 en middelpunt (0,0,1) en boven kegel z= sqrt(x^2+y^2). Bereken het volume van D.

Ik had gedacht om dit zo te doen:

ik zou via de symmetrie mij baseren op enkel het eerste octant en dan de uitkomst maal 4 doen.

m.a.w.

\( {4}\int_{0}^{1}\int_{\Pi/4}^{\Pi/2}{(1-\sqrt{(1-r^2)} - r)r}{dr}{d{\theta}} \)

Flisk

Laten we eerst ons bezighouden met de vorige vraag. Je had dit:

tommeke12 schreef: De transformatie naar poolcoördinaten is dan:
\(\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-(r*cos(\theta))^2}}(r*cos(\theta)+1)^2+(r*sin(\theta))^2*r d\theta dr\)

Het integrandum is bijna juist. Nu heb je enkel

\((rsin(\theta))^2\)

vermenigvuldigd met die extra r. Ik denk dat je haakjes bent vergeten plaatsen, want de eerste term moet ook vermenigvuldigd worden met r.

De grenzen kloppen nog altijd niet. Je wilt grenzen voor r en theta, nu heb je gewoon nog de grenzen voor x en y staan.

Ik blijf erbij dat die tip gegeven in bericht 4 het makkelijkste is om die grenzen te vinden, nl:

Flisk schreef: Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.

Hiervoor kijk je dus naar de oorspronkelijke integraal. Daarvoor weet je: x gaat van 0 tot 1 en y gaat van 0 tot

\(\sqrt{1-(1-x)^2}\)

Plot dat eens, kijk naar die figuur. Beredeneer dan waarom je de substitutie x=u+1 hebt doorgevoerd (die coördinaatverschuiving) en welke grenzen dit geeft voor r en theta als je daarna overgaat naar poolcoördinaten.

tommeke12

Flisk schreef: Laten we eerst ons bezighouden met de vorige vraag. Je had dit:

Het integrandum is bijna juist. Nu heb je enkel
\((rsin(\theta))^2\)
vermenigvuldigd met die extra r. Ik denk dat je haakjes bent vergeten plaatsen, want de eerste term moet ook vermenigvuldigd worden met r.

De grenzen kloppen nog altijd niet. Je wilt grenzen voor r en theta, nu heb je gewoon nog de grenzen voor x en y staan.

Ik had inderdaad de haakjes vergeten. En de grenzen voor r kloppen toch? die gaat volgens mij van 0 tot 1. En de grenzen voor theta gaan van 0 tot Pi.

Flisk

tommeke12 schreef: Ik had inderdaad de haakjes vergeten. En de grenzen voor r kloppen toch? die gaat volgens mij van 0 tot 1. En de grenzen voor theta gaan van 0 tot Pi.

Grens voor r klopt, die voor theta niet. Heb je al eens dat gebied bekeken?

tommeke12

Flisk schreef: Grens voor r klopt, die voor theta niet. Heb je al eens dat gebied bekeken?

Voor de coördinatentransformatie gaan ze van 0 tot Pi/2, na de transformatie van 0 tot Pi toch?

Flisk

Nee, controleer maar eens met maple.

En:

Flisk schreef: Ik blijf erbij dat die tip gegeven in bericht 4 het makkelijkste is om die grenzen te vinden namelijk:
Tip: maak een tweedimensionale plot van de grenzen.
Hiervoor kijk je dus naar de oorspronkelijke integraal. Daarvoor weet je: x gaat van 0 tot 1 en y gaat van 0 tot
\(\sqrt{1-(1-x)^2}\)
Plot dat eens, kijk naar die figuur. Beredeneer dan waarom je de substitutie x=u+1 hebt doorgevoerd (die coördinaatverschuiving) en welke grenzen dit geeft voor r en theta als je daarna overgaat naar poolcoördinaten.

Weet je hoe je dat gebied bekijkt? Weet je wat een gebied is? Anders leg ik het even uit. Bij dit soort oefeningen is het heel belangrijk dat je begrijpt wat je allemaal doet. Dat maakt het allemaal veel makkelijker. Weet je waarom we het integrandum vermenigvuldigen met r na de transformatie naar poolcoördinaten?

tommeke12

De grafiek

\(\sqrt{1-(1-x)^2}\)

is een halve cirkel rond het punt x=1. En we voerden een coördinatentransformatie in om ervoor te zorgen dat je theta zich rond de oorsprong bevindt. We vermenigvuldigen de integraal met r ten gevolgen van de Jacobiaan (dit is een soort correctie omdat je een coordinatentransformatie doorvoert). Maar ik heb inderdaad wat moeite om tekeningen te maken (vooral bij de moeilijker voorbeelden zoals die andere oefening die ik hierop zette)

Flisk

Ok dat klopt ongeveer. We hebben die transformatie x=u+1 uitgevoerd zodat het middelpunt van die cirkel samenvalt met de nieuwe oorsprong (m.a.w. we hebben de hele boel verschoven). Dit geeft ons het voordeel dat r niet meer afhangt van theta. Nu moeten we de grenzen voor r en theta vinden. Die van r had je al juist, het is immers een cirkel met straal 1.

Nu voor die theta. We weten dat er voor de originele integraal geldt: y gaat van 0 tot aan de grafiek. En x gaat van 0 tot 1. Welk stuk van de cirkel is dit precies? Eens je die vraag oplost, weet wat de grenzen voor theta zijn.

Als je het vind, zal ik eens tonen hoe je diezelfde integraal oplost zonder die substitutie x=u+1 (dus zonder dat je alles verschuift).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

overgaan naar poolcoordinaten

overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten

Re: overgaan naar poolcoordinaten