Springen naar inhoud

volume tussen bol en kegel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 08:43

En zou iemand ook het antwoord weten op deze vraag?

D is het gebied onder de bol met straal 1 en middelpunt (0,0,1) en boven kegel z= sqrt(x^2+y^2). Bereken het volume van D.

Ik had gedacht om dit zo te doen:

2291ac2461802c040b1f13eb45bf3684.png

ik zou via de symmetrie mij baseren op enkel het eerste octant en dan de uitkomst maal 4 doen.
 

 


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 11:54

Er is inderdaad sprake van symmetrie. Nu heb je wel een octant (achtste) van het geheel gekozen, dus je moet ook vermenigvuldigen met acht i.p.v. vier.
Het integrandum is bijna juist. Je hebt één tekenfout gemaakt. Toon anders eens de stappen hoe je er aan bent geraakt, dan kunnen we kijken waar die tekenfout is gebeurd.

Een plot voor maple is ook altijd handig:
bol := sqrt(-x^2-y^2+1^2)+1;
kegel := sqrt(x^2+y^2);
plot3d([bol, kegel], x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, view = 0 .. 2*1, style = line);

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 13:03

Er is inderdaad sprake van symmetrie. Nu heb je wel een octant (achtste) van het geheel gekozen, dus je moet ook vermenigvuldigen met acht i.p.v. vier.
Het integrandum is bijna juist. Je hebt één tekenfout gemaakt. Toon anders eens de stappen hoe je er aan bent geraakt, dan kunnen we kijken waar die tekenfout is gebeurd.

Een plot voor maple is ook altijd handig:
bol := sqrt(-x^2-y^2+1^2)+1;
kegel := sqrt(x^2+y^2);
plot3d([bol, kegel], x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, view = 0 .. 2*1, style = line);

Als je het * 8 doet heb je toch te veel? het volume bevindt zich toch enkel boven de z-as en er niet onder?

En mijn redenering:

 

bol: x^2+y^2+(z-1)^2=1
kegel: z=(x^2+y^2)^(1/2)

 

Als ik die functies schets, dan zie ik dat in het eerste octant je regulier gebied van Pi/4 tot Pi/2 gaat (de berekening via de functies lukt me niet; als ik z uit de 2e vergelijking in de eerste plaats dan bekom ik: x^2+y^2=(x^2+y^2) wat ik een nogal rare uitdrukking vind. hopelijk weet jij wel hoe het moet?

nu: volume = bol - kegel

m.a.w. : ((1-x^2-y^2)^(1/2)-1)-(x^2+y^2)^(1/2)

of in poolcoordinaten
(1-r^2)^(1/2)-1-r
en dit dan vermenigvuldigen met r

De grenzen voor r gaan dus van 0 tot 1 en voor theta van Pi.4 tot Pi/2

Ps: als ik het commando in maple geef, krijg ik enkel een lege kubus

#4

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 13:32

Je moet de drie lijnen code uitvoeren in maple. Ik heb maple 16 en daar werkt het perfect. Of gecombineerd naar één lijn code:
plot3d([sqrt(-x^2-y^2+1^2)+1, sqrt(x^2+y^2)], x = -1 .. 1, y = -1 .. 1, view = 0 .. 2, style = line, axes = boxed);

Nu willen we een gebied op het xy vlak vinden waarover we kunnen integreren. M.a.w. een gebied waarboven/onder heel Het volume D zich bevindt. Bekijk die plot eens, wat valt je op aan de snijkromme van de kegel en de bol? Projecteer deze eens op het xy vlak. De vergelijking van die projectie ervan kan je vinden door z te elimineren. Dat doe je door beide vergelijkingen om te vormen naar z=... en dan gelijk aan elkaar te stellen. Wat je nu hebt klopt niet, ik denk dat je ergens een vierkantswortel bent vergeten.

 

nu: volume = bol - kegel

m.a.w. : ((1-x^2-y^2)^(1/2)-1)-(x^2+y^2)^(1/2)

Hier zit een tekenfout, je hebt de vergelijking van de bol niet goed omgevormd naar z.
 

Als je het * 8 doet heb je toch te veel? het volume bevindt zich toch enkel boven de z-as en er niet onder?

Je wilt over heel het gebied integreren, dus een volledige cirkel voor theta van 0 tot 2pi. Dit heeft weinig te maken met waar het volume zich bevindt. Hiervoor moet je vooral kijken naar het gebied waarover je integreert.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#5

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 13:47

hoe ik z elimineer

 

vergelijking van de bol: 

 

x^2+y^2+(z-1)^2=1

 

ik steek z van de kegel erin:

 

x^2+y^2+((x^2+y^2)^(1/2)-1)^2=1

 

==> x^2+y^2+x^2+y^2-2*(x^2+y^2)^(1/2)+1=1 ==> 2x^2+2y^2=2*(x^2+y^2)^(1/2)

 

ik weet echt niet wat ik hier verkeerd doe? :s en kan je dat nog eens uitleggen voor die *8? (in maple krijg ik nog altijd een lege kubus)


#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 14:14

 2x^2+2y^2=2*(x^2+y^2)^(1/2)

Dit is trouwens juist. Dat is niet hetzelfde als wat je in de vorige post had, want daar was er in het rechterlid geen vierkantswortel. Kwadrateer beide kanten en deel ze daarna door x^2+y^2. Dan krijg je de vergelijking van de rand van je gebied in het xy vlak.

Leg eens uit waarom je denkt dat het 4 moet zijn?

En heb je de tekenfout in het integrandum al gevonden?

Raar dat de maple code niet werkt. Foutmeldingen ofzo? Maakt niet zoveel uit, het is gewoon een plot van beide figuren:
bolkegelvol1.JPG
Je berekent dus eigelijk het volume van een 'ijsje'. Vanaf bovenaf gekeken:
bolkegelvol2.JPG

Plots zijn altijd handig om inzicht in het probleem te krijgen. Het eerste wat ik altijd doe bij zo'n oefening is een plot/tekening maken.

Veranderd door Flisk, 31 augustus 2014 - 14:21

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 14:32

Als ik het verder uitreken op jouw manier, dan bekom ik:

 

x^2+y^2+(2x^2y^2)/(x^2+y^2)=1. Maar hoe kun je deze functie dan verder vereenvoudigen?

 

en de fout in het integrandum: in plaats van -r moet het +r zijn. 

 

Mijn fout is dat ik met het volume bezig was en zo dacht dat het *4 moet zijn, maar je moet dus enkel kijken naar het integrandum of niet?


#8

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 17:27

x^2+y^2+(2x^2y^2)/(x^2+y^2)=1. Maar hoe kun je deze functie dan verder vereenvoudigen?

Je begin van LaTeX

, kwadrateer beide leden, maar werk het linkerlid niet uit (dus gewoon haakjes zetten en kwadraat erboven). Deel dan beide leden door x^2+y^2. Je kan trouwens aan de plot al zien wat het gebied zal zijn.

 

en de fout in het integrandum: in plaats van -r moet het +r zijn. 

Wat heb je nu als integrandum? Ik geraak er niet meer aan uit omdat je er al twee verschillende gepost hebt.
 

Mijn fout is dat ik met het volume bezig was en zo dacht dat het *4 moet zijn, maar je moet dus enkel kijken naar het integrandum of niet?

Nee niet echt, ik vroeg naar de redenering waarom je 4 had. Op die manier kon ik misschien uitleggen wat er fout ging.
Het gebied op het xy vlak waarover we integreren is een cirkel. Een cirkel loopt van 0 tot 2pi. De integraal die je had gekozen ging van pi/4 tot pi/2. Dat is een achtste van de cirkel.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#9

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 19:39

LaTeX
Dit is de volledige integraal in cilindercoordinaten, maar zou jij weten hoe je deze nu in bolcoordinaten overzet?

#10

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 19:46

Het integrandum klopt nog altijd niet. De werkwijze is goed:

nu: volume = bol - kegel

m.a.w. : ((1-x^2-y^2)^(1/2)-1)-(x^2+y^2)^(1/2)

Maar zoals ik al had gezegd, je maakt een fout bij de vergelijking van de bol. Als je die omschrijft naar z, krijg je niet (1-x^2-y^2)^(1/2)-1.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#11

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 20:10

Het integrandum klopt nog altijd niet. De werkwijze is goed:

Maar zoals ik al had gezegd, je maakt een fout bij de vergelijking van de bol. Als je die omschrijft naar z, krijg je niet (1-x^2-y^2)^(1/2)-1.

 

==>z=(1-x^2-y^2)^(1/2)+1

 

Is het zo ok?
 


#12

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 20:29

Inderdaad dat is goed. Die -1 moest een +1 zijn. In andere posts had je ook een minteken voor die vierkantswortel. Maar dat moet dus een plusteken zijn. Je krijgt dan dus:

LaTeX
Merk op dat dit equivalent is met bijvoorbeeld (zie je waarom?):
LaTeX
 

I.v.m. bolcoördinaten. Dan moet je met een drievoudige integraal werken. Merk op dat:
LaTeX


Je krijgt dan dus een driedimensionaal gebied waarover je integreert en je zal dan de x, y en z coördinaten alle drie vervangen door bolcoördinaten. Hoe dat precies werkt vind je waarschijnlijk wel in je cursus terug. Als je er specifieke vragen over hebt, kan ik altijd helpen.

Veranderd door Flisk, 31 augustus 2014 - 20:30

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#13

tommeke12

    tommeke12


  • >25 berichten
  • 48 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 20:54

Inderdaad dat is goed. Die -1 moest een +1 zijn. In andere posts had je ook een minteken voor die vierkantswortel. Maar dat moet dus een plusteken zijn. Je krijgt dan dus:

LaTeX
Merk op dat dit equivalent is met bijvoorbeeld (zie je waarom?):
LaTeX
 

I.v.m. bolcoördinaten. Dan moet je met een drievoudige integraal werken. Merk op dat:
LaTeX


Je krijgt dan dus een driedimensionaal gebied waarover je integreert en je zal dan de x, y en z coördinaten alle drie vervangen door bolcoördinaten. Hoe dat precies werkt vind je waarschijnlijk wel in je cursus terug. Als je er specifieke vragen over hebt, kan ik altijd helpen.

Zou je niet snel de oplossing kunnen geven? ik zou dat toch ook graag eens te zien krijgen


#14

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 31 augustus 2014 - 22:43

Een van de makkelijkste voorbeelden van bolcoördinaten is het bepalen van het volume van een bol. Bekijk eens volgende youtube filmpje. Het legt zelfs op een intuïtieve manier uit waarom je bij coördinaatovergang LaTeX

moet toevoegen aan het integrandum. Als je snapt wat er gebeurt in dat filmpje, zal het misschien duidelijk worden.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures