Dit is een homogene lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. Als je niet weet waarvoor deze term precies staat,vraag gerust verder en ik leg het wel uit.
Dit type vergelijkingen is vrij makkelijk oplosbaar. Je voert telkens de substitutie
\(x(t)=e^{at}\)
uit. Dan voer je alle afleidingen door m.b.v. de kettingregel. Daarna deel je
\(e^{at}\)
weg. Bij dit voorbeeld:
\(\frac{d^2 e^{at}}{dt^2}+\frac{k}{m} \cdot e^{at}=0 \iff a^2 e^{at}+\frac{k}{m}ae^{at}=0 \iff a^2 +\frac{k}{m}a=0\)
Wat een veeltermvergelijking is. Deze los je op met behulp van
\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
. Je krijgt dan
\(a=\frac{\pm\sqrt{-4\frac{k}{m}}}{2}=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}\)
De omgekeerde substitutie geeft dan:
\(x(t)=e^{\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}t}\)
Dan moet je de
formule van Euler gebruiken en krijg je twee uitdrukkingen met elk een sinus en een cosinus:
\(x(t)=\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\pm i\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\)
Elke lineaire combinatie van een oplossing is weeral een oplossing bij dit type differentiaalvergelijkingen. Hieruit volgt dat de sinus en de cosinus (maal eventueel een constante) dus allebei oplossingen zijn.
Nu dit is wat kort uitgelegd, je zou best een boek/cursus met theorie raadplegen (of een document op internet zoeken).
Anton_v_U schreef:
Volgens mij is de sinusfunctie de enige reële functie met de eigenschap dat de dubbele afgeleide gelijk is aan een negatieve constante maal het origineel.
Ook nog de cosinus uiteraard.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
