Springen naar inhoud

lineaire algebra notatie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

SanderR

    SanderR


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 24 september 2014 - 14:56

Beste mede forumgebruikers,

 

Stel ik heb een row vector p die bestaat uit 3 elementen die beschrijven de locatie van een punt p in 3 dimensies: [x y z].

Is p∈  R?

 
Ik kom met deze vraag omdat ik een notatie tegen ben gekomen in een boek over 3D computer vision.

 

P = {p1, ... , pM}     p∈  RN.

 

De vraag is waarom is p hier transposed?

achtergrond informatie

Achtergrond informatie:

De notatie komt uit de volgende tekst:
"A point cloud is set of data points defined in a coordinate system. Using M to refer
to the number of points and N for the dimensionality of the space, the point cloud is
written as follows: 

P = {p1, ... , pM} pT ∈ RN.

A common technique to store point clouds in memory is to form an by array denoted
as P where each row vector in corresponds to a point. We require two conditions to
define an N-dimensional point cloud:
1. pT ∈ RN i = 1, . . . , M.
2. The object of interest is in the convex hull of the points. "
(Bron: Computer Vision and Machine Learning with RGB-D Sensors - Zhang, Kholi, Han, Shao 2014)
pagina 4 om precies te zijn.

Dit is hoe ik het begrijp:
P is een set met punten p1 t/m pm die opgeschreven worden als row vectors. Dus P is een matrix met m rijen en N kolommen.
en er staat ook bij pT ∈ RN. Deze snap ik niet helemaal. waarom staat deze T hier? is p dan geen element van RN?
 
 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 09:30

 

Dit is hoe ik het begrijp:
P is een set met punten p1 t/m pm die opgeschreven worden als row vectors. Dus P is een matrix met m rijen en N kolommen

 

Klopt, dit heb je goed begrepen.

 

 

 

en er staat ook bij pT ∈ RN. Deze snap ik niet helemaal. waarom staat deze T hier? is p dan geen element van RN?

 

Dit is een kwestie van boekhouden.

 

P is, zoals je zelf al had begrepen, een matrix.

Een matrix kun je beschouwen als een is een rij van kolom vectoren.

P is hier geschreven als de rij {p1, p2, ... pM}, dus iedere p is een kolom vector.

Dat wil zeggen dat p^T een rij vector is.

En nou is het toevallig zo dat jouw boek de punten in een N-dimensionale ruimte per definitie noteert als rij vectoren.

Dus om consistent te zijn, zegt men dat de rij p^T het punt voorstelt.

 

Om concreet antwoord op je vraag te geven: nee, p is geen element van R^N, omdat R^N per definitie de ruimte van alle N-dimensionale rij vectoren is, terwijl p een kolom vector is.

 

Uiteindelijk maakt het allemaal niet zo veel uit of je iets als een kolom of als een rij noteert, en in niet alle boeken maken onderscheid tussen kolom en rij vectoren. Maar vaak blijkt het uiteindelijk wel handiger te zijn om strikt onderscheid te maken omdat je een rij vector dan ook als een 1xN matrix kunt beschouwen en een kolom vector als een Nx1 matrix. Op die manier is het inproduct tussen een rij vector en een kolom vector niets anders dan een gewone matrix vermenigvuldiging van een 1xN matrix en een Nx1 matrix. Dus het vereenvoudigt een aantal zaken.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 25 september 2014 - 09:34

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#3

SanderR

    SanderR


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 10:07

Bedankt voor je antwoord Math-E,

 

Ik was nog even verward over het volgende;

P = {p1, ... , pM}   dit is toch gewoon de notatie dat P een set is met de elementen p1 t/m pm. Het zijn immers { } en geen [ ]. Waarom mag ik hieruit concluderen dat iedere p een kolom vector is?


#4

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 10:45

Hmm, ja inderdaad, de {} notatie wil (normaal gesproken) zeggen dat het om een verzameling gaat, maar in de tekst hebben ze het over een 'array'.

 

Uit de tekst die je hier gepost hebt kan ik niet zien of we P daadwerkelijk als een matrix moeten beschouwen, of slechts als een verzameling van kolom vectoren. (het enige verschil is dat de elementen van een verzameling geen volgorde hebben, terwijl de kolommen van een matrix wel een vastgelegde volgorde hebben.)

 

Zolang ze niet expliciet zeggen dat het om een matrix gaat, en ze geen gebruik maken van een eventuele volgorde tussen de elementen, kun je denk ik beter aannemen dat het gewoon om een verzameling gaat.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 25 september 2014 - 10:45

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#5

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 14:01

Math-E,


Dus volgens jouis p element van Rn en pT niet. En waarom niet visa versa?

Veranderd door peterdevis, 25 september 2014 - 14:02

het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#6

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 14:12

Dus volgens jouis p element van Rn en pT niet. En waarom niet visa versa?

 

Omdat volgens de definitie van dat boek de punten uit de ruimte R^N gedefinieerd zijn als rij vectoren. Het element p is een kolom vector, dus geen element van die ruimte.

 

Om precies te zijn: p is dan een element zijn uit de duale ruimte van R^N. Dat is: de ruimte van lineaire afbeeldingen van R^N naar R. 

In meer formeel wiskundige boeken noemt men dat van een covector. Uiteraard is de duale ruimte van R^N isomorf met R^N zelf, maar strikt gesproken mag je niet zeggen dat ze hetzelfde zijn.

 

In het algemeen is het duidelijk dat een NxM matrix niet hetzelfde is als een MxN matrix. In het bijzonder geldt dit dus voor Nx1 matrices en 1xN matrices (oftewel vectoren en covectoren, oftewel rij vectoren en kolom vectoren)

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures