Springen naar inhoud

Vraag over bewijs kettingregel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

D-Boss

    D-Boss


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 september 2014 - 22:12

 Ik heb bepaalde bewijzen gezien van de kettingregel en die zijn naar mijn idee onnodig ingewikkeld, met de introductie van allerlei nieuwe parameters en dergelijke. Nu heb ik een ander bewijs gebruikt dat gepresenteerd wordt als overtuigend maar onjuist, maar als je de kettingregel kan bewijzen voor het gedeelte waarin dat bewijs niet geldig is heb je alsnog een bewijs. Mijn vraag is is of dat bewijs acceptabel is of dat er bepaalde fouten in zitten.

 

 Mijn idee is als volgt:

 

 Stel we hebben 2 functies f en g, beschouw dan de compositie van deze 2 functies f(g(x)). We nemen aan dat zowel f als g differentieerbaar zijn in het punt a, en (voorlopig) dat de functie g'(a) ongelijk is aan 0. Dan gebruik ik het volgende:

 

LaTeX

 

 Ofterwijl:

 

 LaTeX

.

 

 Maar er zit natuurlijk een adder onder het gras, aangezien ik nu de kettingregel enkel heb bewezen in de punten a waarvoor g'(a) ongelijk is aan 0. Op dit punt zou ik even feedback willen, klopt het dat dit bewijs goed is indien gegeven is dat g'(a) ongelijk aan 0 is?

 

 Dan gaan we verder met het geval dat g'(a) wel gelijk aan 0 is. Dit behandel ik apart. Hierin onderscheid ik 2 gevallen, in het ene geval is g'(x) = 0 langs een heel interval I. In het andere is g'(a) = 0 als geisoleerd punt, dus dat er een delta>0 te vinden is zodanig dat in een open interval met centrum a a het enige punt is waarin g'(a) = 0. Het eerste geval is redelijk makkelijk:

 

LaTeX

dus

LaTeX

dus

LaTeX

 

 We hebben dus de kettingregel bewezen in het geval dat g'(x) = 0 op een interval I. Nu moeten we ons concentreren op de laatste situatie namelijk een geisoleerd punt waarin g'(x) = 0. Hiertoe wil ik opmerken dat de functies f en g differentieerbaar zijn, dit betekent informeel dat ze geen knikken of scherpe punten hebben in hun grafiek. Als gevolg daarvan zijn hun afgeleiden continu. In het bijzonder is de compositie van f en g differentieerbaar(laten we deze functie h noemen) en de afgeleide hiervan dus continu. Stel nu dat g'(a) = 0.

 

LaTeX

. Nouja ik ontdek terwijl ik hier aan het typen ben wel een gat in mijn redenering. We hebben immers laten zien dat h differentieerbaar is in alle punten x waar g'(x) ongelijk is aan 0 maar dit impliceert niet dat het ook differentieerbaar is als g'(x) gelijk is aan 0. Wat cruciaal is en ontbreekt is een bewijs dat composities van functies differentieerbaar zijn als beide functies in de compositie dat ook zijn, en dan hoeft niet eens de expliciete uitdrukking bewezen te worden. Maar als dit bewijs ingewikkeld is is er geen voordeel van dit bewijs over de ingewikkeldere bewijzen die er zijn. Een apart en niet te ingewikkeld bewijs voor dit specifieke geval van een geisoleerd punt g'(a) zou toch elegant een volledig bewijs kunnen leveren wat zeker de moeite waard is. Ik ben benieuwd of dit mogelijk is.

 

 In de aanloop naar de tekst zag ik dit gat niet, ik kwam het echt pas tegen toen ik het net ging uit typen. Mijn vraag is nu niet meer of mijn bewijs klopt, maar of er een elegante manier is om dit gat te dichten. Een manier waar ik nu aan zit te denken is misschien te ingewikkeld namelijk 12 gevallen apart bewijzen. Namelijk g(a) lokaal maximum en f(g(a)) lokaal strict stijgend, g(a) lokaal minimum en f(g(a)) strict stijgend, zadelpunten, zowel f en g maximum, etc. Maar dat is misschien niet zo elegant en dat zou het voordeel hiervan onderuit halen.

Veranderd door D-Boss, 25 september 2014 - 22:34


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 september 2014 - 01:47

LaTeX

 

Deze stap ziet er mij niet correct uit. In de zin dat je dat nog extra moet bewijzen. Nu staat er concreet:
LaTeX


Wat niet zomaar mag. Intuïtief is dit vrij logisch, maar intuïtie kan wel eens fout zijn dus moet je dit rigoureus bewijzen. Als ik het mij goed herinner ben ik eens op een soortgelijk probleem gestoten (en bewezen in het derde bericht) in deze thread. Namelijk die LaTeX van de limiet vervangen door LaTeX .

EDIT: zoals je correct opmerkt is die laatste redenering voor g'(x)=0 fout. Je gebruikt daar al immers de kettingregel die je net wilt bewijzen (cirkelredenering). Ik zal er morgen eens over nadenken hoe je dat zou kunnen bewijzen. Maar ik denk dat het simpelste gewoon een epsilon delta bewijs zal zijn dat algemeen geldt (dus voor g'(x) gelijk of ongelijk aan 0).

Veranderd door Flisk, 26 september 2014 - 02:18

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#3

D-Boss

    D-Boss


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 september 2014 - 12:41

 

Deze stap ziet er mij niet correct uit. In de zin dat je dat nog extra moet bewijzen. Nu staat er concreet:
LaTeX


Wat niet zomaar mag. Intuïtief is dit vrij logisch, maar intuïtie kan wel eens fout zijn dus moet je dit rigoureus bewijzen. Als ik het mij goed herinner ben ik eens op een soortgelijk probleem gestoten (en bewezen in het derde bericht) in deze thread. Namelijk die LaTeX van de limiet vervangen door LaTeX .

EDIT: zoals je correct opmerkt is die laatste redenering voor g'(x)=0 fout. Je gebruikt daar al immers de kettingregel die je net wilt bewijzen (cirkelredenering). Ik zal er morgen eens over nadenken hoe je dat zou kunnen bewijzen. Maar ik denk dat het simpelste gewoon een epsilon delta bewijs zal zijn dat algemeen geldt (dus voor g'(x) gelijk of ongelijk aan 0).

 

 In die stap gebruik ik de substitutie regel voor limieten. Stel het volgende:

 

LaTeX

 Omdat f differentieerbaar is in g(a) weet ik dat de limiet van x->g(a) in h bestaat en een reële waarde aanneemt. Dus:

LaTeX

 Uit deze 2 observaties volgt mbh de substitutie regel dat:

LaTeX

 

 En dat rechtvaardigt dan die gelijkheid.

 

 Over dat laatste heb ik ook weer zitten nadenken, ik denk dat daar wel wat op te vinden is. Laten we even de situatie beschrijven(g'(x) = 0 voor geïsoleerd punt). We beginnen eerst het volgende op te merken omdat g'(a) = 0 in een geisoleerd punt a:

LaTeX

 We weten uit bovenstaanda dat g(a) een lokaal minimum of maximum is of een zadelpunt. En indien het een zadelpunt is dan is het dat op een interval dat monotoon strict stijgend is of een die dalend is. In alle 3 de gevallen geldt(en dit is makkelijk na te gaan):

LaTeX

 Hieruit volgt in het bijzonder dat f(x)-f(a) ongelijk is aan 0 zolang de afstand tussen x en a kleiner is dan delta en x ongelijk is aan a. Om deze reden is de volgende redenering gerechtvaardigd:

LaTeX

 

 En dan hebben we de kettingregel als het goed is ook bewezen voor dit geisoleerde geval. Maar ik heb er vandaag ook aan zitten te denken dat er nog 1 exotisch geval is die niet bewezen is. En ik weet niet eens of een dergelijke functie wel kan bestaan. Denk aan een functie met de volgende eigenschappen:

 

LaTeX

 

 Dit kan overigens met elke cauchy rij en een functie die in alle punten van de cauchy rij afgeleide 0 heeft en dat ook heeft in het punt waar die rij naar convergeert. Het is duidelijk dat voor a=2 in dit geval een dergelijke delta niet bestaat en het ook zeker niet het geval hoeft te zijn dat er een interval rond 2 gecentreerd is waar f'(x) overal gelijk is aan 0. Maar dan vraag ik me nog af of een dergelijke functie wel kan bestaan, want als het zou bestaan zou dat toch impliceren dat de functie in het punt 2 niet linneair benaderd kan worden omdat er op elke denkbare schaal zowel positieve als negatieve afgeleiden wordt aangenomen waardoor de functie in het limietpunt nooit benaderd kan worden door een linneaire functie. Dat is althans mijn vermoeden maar dat heb ik niet hard gemaakt.

 

 Hoe dan ook is de kettingregel nu wel voor alle situaties behalve de eventuele 'exotische' situatie bewezen.

Veranderd door D-Boss, 26 september 2014 - 13:56


#4

D-Boss

    D-Boss


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2014 - 08:51

 Mijn eerdere beweringen kloppen niet, de functie f(x) = x² sin(1/x) en f(0) = 0 is namelijk differentieerbaar in het punt 0, en het is duidelijk dat er geen delta is zodanig dat f(x) altijd ongelijk is aan 0 zolang de afstand tussen x en 0 maar lager is dan delta. Dergelijke voorbeelden van functies vallen buiten dit bewijs, en dan ontsnap je dus niet aan die moeilijkere bewijzen :P

 

 Toch jammer dat het bewijs niet zo versimpeld kan worden als andere bewijzen mbt rekenregels van differentieren. Verder vraag ik me af wat er met dit forum aan de hand is. Waarom zo veel inactiviteit?? Niet alleen hier maar over het hele forum, dit forum sterft gewoon uit lijkt het.


#5

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2014 - 16:52

Waarom zo veel inactiviteit??

Het is naturlijk ook een enorme tekst die je hier neerschrijft. Dat schrikt af.

Daarnaast snap ik niet goed wat je bedoelt, bijvoorbeeld:

Laten we even de situatie beschrijven(g'(x) = 0 voor geïsoleerd punt).

Een geïsoleerd punt is een punt van een verzameling waarvan er een omgeving bestaat waarin elk punt (behalve het punt zelf) niet tot die verzameling behoort. Over welke verzameling spreek je hier en wat is dan het geïsoleerde punt?

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#6

D-Boss

    D-Boss


  • 0 - 25 berichten
  • 23 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 30 september 2014 - 12:08

Het is naturlijk ook een enorme tekst die je hier neerschrijft. Dat schrikt af.

Daarnaast snap ik niet goed wat je bedoelt, bijvoorbeeld:

Een geïsoleerd punt is een punt van een verzameling waarvan er een omgeving bestaat waarin elk punt (behalve het punt zelf) niet tot die verzameling behoort. Over welke verzameling spreek je hier en wat is dan het geïsoleerde punt?

 In deze context heb ik het natuurlijk over de verzameling R, of eventueel een deelverzameling van R(het domein van de functie). Met een geisoleerd punt a met f'(a) = 0 bedoel ik een punt a waarin er een omgeving rond a bestaat zodanig dat f'(x) =/= 0 voor alle x in de omgeving van a. Als je er intuitief over nadenkt zou je meteen moeten doorhebben waar ik het over heb. 

 

 Misschien is geisoleerd punt hier het verkeerde woord. Of ik moet het hebben over de verzameling van alle getallen x zodanig dat f'(x) = 0, en dat a binnen die verzameling een geisoleerd punt is. Dat zou inderdaad een correcte formulering zijn. Ja ik heb inderdaad een grote tekst neergezet, vooral omdat ik zo duidelijk mogelijk probeerde te laten zien hoe ik dit wou bewijzen. Ik was alleen vergeten dat je ook punten kan hebben die niet geisoleerd zijn maar die ook geen onderdeel zijn van een interval of in een hoger dimensionale context een boogsamenhangende deelverzameling.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures