Mijn idee is als volgt:
Stel we hebben 2 functies f en g, beschouw dan de compositie van deze 2 functies f(g(x)). We nemen aan dat zowel f als g differentieerbaar zijn in het punt a, en (voorlopig) dat de functie g'(a) ongelijk is aan 0. Dan gebruik ik het volgende:
Ofterwijl:
Maar er zit natuurlijk een adder onder het gras, aangezien ik nu de kettingregel enkel heb bewezen in de punten a waarvoor g'(a) ongelijk is aan 0. Op dit punt zou ik even feedback willen, klopt het dat dit bewijs goed is indien gegeven is dat g'(a) ongelijk aan 0 is?
Dan gaan we verder met het geval dat g'(a) wel gelijk aan 0 is. Dit behandel ik apart. Hierin onderscheid ik 2 gevallen, in het ene geval is g'(x) = 0 langs een heel interval I. In het andere is g'(a) = 0 als geisoleerd punt, dus dat er een delta>0 te vinden is zodanig dat in een open interval met centrum a a het enige punt is waarin g'(a) = 0. Het eerste geval is redelijk makkelijk:
We hebben dus de kettingregel bewezen in het geval dat g'(x) = 0 op een interval I. Nu moeten we ons concentreren op de laatste situatie namelijk een geisoleerd punt waarin g'(x) = 0. Hiertoe wil ik opmerken dat de functies f en g differentieerbaar zijn, dit betekent informeel dat ze geen knikken of scherpe punten hebben in hun grafiek. Als gevolg daarvan zijn hun afgeleiden continu. In het bijzonder is de compositie van f en g differentieerbaar(laten we deze functie h noemen) en de afgeleide hiervan dus continu. Stel nu dat g'(a) = 0.
In de aanloop naar de tekst zag ik dit gat niet, ik kwam het echt pas tegen toen ik het net ging uit typen. Mijn vraag is nu niet meer of mijn bewijs klopt, maar of er een elegante manier is om dit gat te dichten. Een manier waar ik nu aan zit te denken is misschien te ingewikkeld namelijk 12 gevallen apart bewijzen. Namelijk g(a) lokaal maximum en f(g(a)) lokaal strict stijgend, g(a) lokaal minimum en f(g(a)) strict stijgend, zadelpunten, zowel f en g maximum, etc. Maar dat is misschien niet zo elegant en dat zou het voordeel hiervan onderuit halen.