Vraag over bewijs kettingregel
Geplaatst: do 25 sep 2014, 23:12
Ik heb bepaalde bewijzen gezien van de kettingregel en die zijn naar mijn idee onnodig ingewikkeld, met de introductie van allerlei nieuwe parameters en dergelijke. Nu heb ik een ander bewijs gebruikt dat gepresenteerd wordt als overtuigend maar onjuist, maar als je de kettingregel kan bewijzen voor het gedeelte waarin dat bewijs niet geldig is heb je alsnog een bewijs. Mijn vraag is is of dat bewijs acceptabel is of dat er bepaalde fouten in zitten.
Mijn idee is als volgt:
Stel we hebben 2 functies f en g, beschouw dan de compositie van deze 2 functies f(g(x)). We nemen aan dat zowel f als g differentieerbaar zijn in het punt a, en (voorlopig) dat de functie g'(a) ongelijk is aan 0. Dan gebruik ik het volgende:
Ofterwijl:
Maar er zit natuurlijk een adder onder het gras, aangezien ik nu de kettingregel enkel heb bewezen in de punten a waarvoor g'(a) ongelijk is aan 0. Op dit punt zou ik even feedback willen, klopt het dat dit bewijs goed is indien gegeven is dat g'(a) ongelijk aan 0 is?
Dan gaan we verder met het geval dat g'(a) wel gelijk aan 0 is. Dit behandel ik apart. Hierin onderscheid ik 2 gevallen, in het ene geval is g'(x) = 0 langs een heel interval I. In het andere is g'(a) = 0 als geisoleerd punt, dus dat er een delta>0 te vinden is zodanig dat in een open interval met centrum a a het enige punt is waarin g'(a) = 0. Het eerste geval is redelijk makkelijk:
We hebben dus de kettingregel bewezen in het geval dat g'(x) = 0 op een interval I. Nu moeten we ons concentreren op de laatste situatie namelijk een geisoleerd punt waarin g'(x) = 0. Hiertoe wil ik opmerken dat de functies f en g differentieerbaar zijn, dit betekent informeel dat ze geen knikken of scherpe punten hebben in hun grafiek. Als gevolg daarvan zijn hun afgeleiden continu. In het bijzonder is de compositie van f en g differentieerbaar(laten we deze functie h noemen) en de afgeleide hiervan dus continu. Stel nu dat g'(a) = 0.
In de aanloop naar de tekst zag ik dit gat niet, ik kwam het echt pas tegen toen ik het net ging uit typen. Mijn vraag is nu niet meer of mijn bewijs klopt, maar of er een elegante manier is om dit gat te dichten. Een manier waar ik nu aan zit te denken is misschien te ingewikkeld namelijk 12 gevallen apart bewijzen. Namelijk g(a) lokaal maximum en f(g(a)) lokaal strict stijgend, g(a) lokaal minimum en f(g(a)) strict stijgend, zadelpunten, zowel f en g maximum, etc. Maar dat is misschien niet zo elegant en dat zou het voordeel hiervan onderuit halen.
Mijn idee is als volgt:
Stel we hebben 2 functies f en g, beschouw dan de compositie van deze 2 functies f(g(x)). We nemen aan dat zowel f als g differentieerbaar zijn in het punt a, en (voorlopig) dat de functie g'(a) ongelijk is aan 0. Dan gebruik ik het volgende:
\([f(g(x))]' \frac{1}{g'(x)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(g(x))-f(g(a))}{x-a} \frac{x-a}{g(x)-g(a)} = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(g(x)-f(g(a))}{g(x)-g(a)} = \lim_{x\rightarrow g(a)} \frac{f(x)-f(g(a))}{x-g(a)} = f'(g(a))\)
Ofterwijl:
\([f(g(x))]' = g'(a)f'(g(a))\)
.Maar er zit natuurlijk een adder onder het gras, aangezien ik nu de kettingregel enkel heb bewezen in de punten a waarvoor g'(a) ongelijk is aan 0. Op dit punt zou ik even feedback willen, klopt het dat dit bewijs goed is indien gegeven is dat g'(a) ongelijk aan 0 is?
Dan gaan we verder met het geval dat g'(a) wel gelijk aan 0 is. Dit behandel ik apart. Hierin onderscheid ik 2 gevallen, in het ene geval is g'(x) = 0 langs een heel interval I. In het andere is g'(a) = 0 als geisoleerd punt, dus dat er een delta>0 te vinden is zodanig dat in een open interval met centrum a a het enige punt is waarin g'(a) = 0. Het eerste geval is redelijk makkelijk:
\(g'(x) = 0 \forall x \in I => g(x) = c \forall x \in I\)
dus
\(f(g(x)) = f(c)\forall x \in I\)
dus
\([f(g(x))]' = 0 = g'(x)f'(g(x))\)
We hebben dus de kettingregel bewezen in het geval dat g'(x) = 0 op een interval I. Nu moeten we ons concentreren op de laatste situatie namelijk een geisoleerd punt waarin g'(x) = 0. Hiertoe wil ik opmerken dat de functies f en g differentieerbaar zijn, dit betekent informeel dat ze geen knikken of scherpe punten hebben in hun grafiek. Als gevolg daarvan zijn hun afgeleiden continu. In het bijzonder is de compositie van f en g differentieerbaar(laten we deze functie h noemen) en de afgeleide hiervan dus continu. Stel nu dat g'(a) = 0.
\(\lim_{x\rightarrow a} h'(x) = \lim_{x\rightarrow a} g'(x)f'(g(x)) = g'(a)f'(g(a)) = 0\)
. Nouja ik ontdek terwijl ik hier aan het typen ben wel een gat in mijn redenering. We hebben immers laten zien dat h differentieerbaar is in alle punten x waar g'(x) ongelijk is aan 0 maar dit impliceert niet dat het ook differentieerbaar is als g'(x) gelijk is aan 0. Wat cruciaal is en ontbreekt is een bewijs dat composities van functies differentieerbaar zijn als beide functies in de compositie dat ook zijn, en dan hoeft niet eens de expliciete uitdrukking bewezen te worden. Maar als dit bewijs ingewikkeld is is er geen voordeel van dit bewijs over de ingewikkeldere bewijzen die er zijn. Een apart en niet te ingewikkeld bewijs voor dit specifieke geval van een geisoleerd punt g'(a) zou toch elegant een volledig bewijs kunnen leveren wat zeker de moeite waard is. Ik ben benieuwd of dit mogelijk is.In de aanloop naar de tekst zag ik dit gat niet, ik kwam het echt pas tegen toen ik het net ging uit typen. Mijn vraag is nu niet meer of mijn bewijs klopt, maar of er een elegante manier is om dit gat te dichten. Een manier waar ik nu aan zit te denken is misschien te ingewikkeld namelijk 12 gevallen apart bewijzen. Namelijk g(a) lokaal maximum en f(g(a)) lokaal strict stijgend, g(a) lokaal minimum en f(g(a)) strict stijgend, zadelpunten, zowel f en g maximum, etc. Maar dat is misschien niet zo elegant en dat zou het voordeel hiervan onderuit halen.