Tensoren in de mechanica en ART

Bartjes

Inmiddels denk ik de wiskundige definitie van tensoren te begrijpen, maar vraag ik mij nog wel af hoe tensoren dan snelheden, krachten e.d. kunnen voorstellen. Uiteindelijk wil ik zover komen dat ik de basis van de ART begrijp.

Een (r,s)-tensor is een multilineaire afbeelding vanuit V^sx(V*)^r naar een scalairenverzameling C (= R of C). Daarin is V een vectorruimte en V* de aan V duale vectorruimte.

Dat begrijp ik inmiddels. Maar stel dat we nu de vectoriële snelheid van een puntdeeltje in R³ op een tijdstip t door middel van een tensor willen aangeven, hoe gaat dat dan?

mathfreak

Begrijp je dat een vector een bijzonder geval van een tensor is?

Bartjes

Een vector is voor mij een gericht lijnstuk van een bepaalde lengte.

Wel kan je via het inproduct m.b.v. een vector een afbeelding van R³ naar R maken. Als die afbeelding lineair is, dan is dat een (0,1)-tensor.

Die lineariteit zit wel snor:

http://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product#Eigenschappen

JorisL

Bartjes schreef: Een vector is voor mij een gericht lijnstuk van een bepaalde lengte.

Hier zou het wel eens fout kunnen lopen. Voor een gericht lijnstuk moet je coordinaten invoeren.
Tensoren worden meestal gebruikt als men coordinaat onafhankelijk wilt werken (cfr algemene relativiteit en het lagrange formalisme).

Dé referentie hieromtrent is het boek van V.I. Arnold. Vraag is hoe ver je wilt gaan omdat hierin nogal zwaar en abstract wiskundig werk verricht word dat computationeel niet altijd even bruikbaar is.

In dat formalisme wordt een vector gedefinieerd aan de hand van een rakende ruimte in een punt. Deze ruimte bevat de raakvectoren aan iedere curve die door dat punt loopt (en een bepaalde parametrisatie heeft). Kan je dit een gericht lijnstuk noemen? Neen, aangezien de manifold geen inbedding in een hoger dimensionale ruimte nodig heeft om berekeningen te doen.

In physics I trust

Als we het wiskundige even achterwege laten, en even iets heel concreet nemen.

Je kent vast het begrip rek (spanning en rek). Het idee is dat je in één bepaald punt eigenlijk een assenstelseltje kan plaatsen, en kijken wat de rek is in elk van die richtingen. Die rek heeft echter verschillende componenten: in de x-richting, in de y-richting, en hoekvervorming ten gevolge van afschuifspanning.

http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor#mediaviewer/File:Components_stress_tensor_cartesian.svg illustreert dus op een erg visuele manier wat de fysische relevantie van een tensor is.

Bartjes

Het is mij nooit gelukt om te begrijpen wat een tensor is totdat ik de in het openingsbericht vermelde definitie tegenkwam. Ik moet mij zulke zaken nu eenmaal als wiskundige objecten kunnen voorstellen voordat ik ermee verder kan. Met de toepassingsgerichte omschrijvingen van tensoren in natuurkundeboeken is mij dat nooit gelukt.

Maar nu is het nog zaak de abstract gedefinieerde tensoren te koppelen aan natuurkundige verschijnselen en eigenschappen.

Die spanningstensor is ook een interessant geval om te zien hoe een abstract gedefinieerde tensor een natuurkundige eigenschap kan representeren. Ik zal eens bekijken of ik er uit kom.

Bartjes

De spanningstensor T is een (2,0)-tensor. Dus kennelijk is T een multilineaire afbeelding vanuit (V*)² naar R. Daarin is V een vectorruimte en V* de aan V duale vectorruimte.

Wat is nu V? Is dat R³ ?

En wat stellen de argumenten en de functiewaarde van T voor?

peterdevis

Ik vrees dat als je tensoren louter beschouwd als lineaire afbeeldingen, je de rijkdom en draagwijdte van tensoren niet gaat vatten. Het is naar mijn mening om een tensor op te vatten als een veralgemeende vector.

Ik raad je aan om te starten met volgende cursus: http://preposterousuniverse.com/grnotes/
Hierin leer je stap voor stap waarom en hoe men tot tensoren komt. Tevens zal je kijk op SRT en ART enorm toenemen. Als je je dan nog zin hebt om het meer formele aspect van tensoren te bekijken, kun je je storten op de abstracte wiskunde. Dit wil niet zeggen dat de hoger genoemde cursus weinig wiskundig is, maar wel pragmatischer in opbouw.

Bartjes

Ik heb de link even bekeken, en die cursus lijkt sterk op onderstaande boek (dat ik al heb aangeschaft):

http://www.bol.com/nl/p/a-first-course-in-general-relativity/1001004006475852/

JorisL

De cursus van Carroll uit post #8 is ondertussen ook tot een boek geworden.
Dat boek bouwt het zo te zien iets sneller op als het boek van Schutz dat je al gekocht hebt.

Aan de inhoudstabel te zien zit het redelijk goed in elkaar om een goed plaatje van de nodige wiskunde te vormen.

Nog een tip, probeer niet extreem diep te gaan in wiskundige juistheid.
Je kan het gebruik in de ART dan wel iets sneller motiveren, maar vaak gaat dat ten koste van fysisch inzicht.
De beste manier wordt vaak beschouwd als het aanbrengen van de wiskunde+motivatie hiervoor uit fysisch oogpunt.
Daarna kan je altijd nog wiskundige exactheid nastreven.

Bartjes

OK - dan ga ik nu eerst dat boek van Schutz bestuderen. Ik heb inmiddels een boekenplank vol met literatuur over de relativiteitstheorie, en die boeken wil ik in de loop van de tijd allemaal lezen. Wanneer ik vastloop stel ik dan hier weer mijn vragen.

Bartjes

Het eerste hoofdstuk is uit. Ik ben nu bezig met de bijbehorende vraagstukken. Het begint met wat oefeningen met natuurlijke eenheden (waarin c=1).

Vraag: schrijf 100 W met de natuurlijke eenheden kg en m.

Mijn antwoord:

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, \frac{\mbox{J}}{\mbox{s}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, \frac{\mbox{N} . \mbox{m}}{\mbox{s}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, \frac{\mbox{kg} . \mbox{m}^2}{\mbox{s}^3} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, \frac{\mbox{m}^3}{\mbox{s}^3} \, . \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, \left ( \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}} \right )^3 \, . \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, \left ( \frac{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{1} \right )^3 \, . \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, \left ( \frac{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{c} \right )^3 \, . \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, \left ( \frac{\frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}}{3 \, . \, 10^8 \, \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}}} \right )^3 \, . \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} = 100 \, . \, (3 \, . \, 10^8)^{-3} \, \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

$ 100 \, \mbox{W} \approx 3,7 \, . \, 10^{-24} \, \, \frac{\mbox{kg}}{\mbox{m}} $

Moet/kan dat zo?

Michel Uphoff

$Afbeelding$

Tot hier klopt het met de dimensies.

$Afbeelding$

Maar nu vervang je de dimensieloze 1 door c, dat de dimensie m/s heeft, dat mag niet. Het resultaat is een dimensie voor massa per lengte eenheid (lineaire dichtheid) ipv vermogen. Dimensioneel klopt het dus niet.

De meter is gedefinieerd als de afstand die licht in 1/299 792 458 seconde aflegt, dus (afgerond) c * 1/300.000.000 s.

In physics I trust

Als de knoop daar zou zitten: natuurlijke zijn niet hetzelfde als dimensieloze eenheden.

Bartjes

Het ziet er inderdaad heel raar uit, maar het boek doet het zo. Zie:

http://books.google.nl/books?id=qhDFuWbLlgQC&printsec=frontcover

En dan blz. 5 & 6.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Tensoren in de mechanica en ART

Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART

Re: Tensoren in de mechanica en ART