Springen naar inhoud

zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel



  • Log in om te kunnen reageren

#1

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 29 september 2014 - 19:33

stel we hebben een rechte cilinderkegel met straal grondvlak =R en hoogte is H

dan is bekend dat het zwaartepunt op 1/3 van de hoogte ligt.

maar als we de kegel op een hoogte van 1/2.H doormidden snijden , krijgen we een afgeknotte cilinderkegel met straal grondvlak =R en hoogte =1/2.H.

waar ligt nu het zwaartepunt?


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

kwasie

    kwasie


  • >250 berichten
  • 348 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 29 september 2014 - 21:06

2/9 maal de hoogte.

 

De (afgeknotte) kegel kun je zien als een (afgeknotte) driehoek die om de hoogte as geroteerd wordt.

Het zwaartepunt van de driehoek is gelijk aan die van de kegel, de rotatie om de hoogte-as maakt geen verschil.

 

wat er overblijft is een vierkant (met hoogte = h/2 , breedte = r/2)  met een driehoek ernaast (met hoogte = h/2 , breedte = r/2).

Zwaartepunt Z:

Zvierkant = 1/2 * h/2 = h/4

Zdriehoek = 1/3 * h/2 = h/6

Het vierkant heeft 2x zoveel oppervlakte als de driehoek.

 

Zafgeknotte kegel = (h/4 + h/4 + h/6) * 1/3 = 2h/9

 

 

Ik heb het lichaam opgedeeld in bekende stukken en die evenredig gesommeerd.

Het is natuurlijk ook op te lossen met een integraal.

Veranderd door kwasie, 29 september 2014 - 21:09


#3

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 29 september 2014 - 21:12

Ik zie twee manieren om dit probleem aan te pakken. De eerste manier is een algemene manier die gebruikt kan worden bij elk soort object.
Je zou een assenstelsel kunnen kiezen waarbij de x en y coördinaat van het zwaartepunt nul is (door symmetrie). Dan wordt de z coördinaat gegeven door volgende volume integraal: LaTeX

Waarbij het gebied V dus gewoon die afgeknotte kegel is.

Nu de andere manier die ik in gedachten heb. Veronderstel een constante dichtheid. Je weet blijkbaar al waar het zwaartepunt van een kegel ligt. Je snijdt er een stuk af, dit is weer een kegel waarvan je het zwaartepunt dus ook kan berekenen. Daarvan kan je ook het volume berekenen (en dus de massa). Je hebt nu dus twee objecten waarvan je het gezamelijk massamiddelpunt kent. Enkel van die afgeknotte kegel ken je de z-coördinaat van het massamiddelpunt niet. Dan gebruik je gewoon de definitie van massamiddelpunt:
LaTeX
Waarbij afgek staat voor 'afgeknotte kegel' en hlvk staat voor die afgesneden 'halve kegel'.
De enige onbekende is dan dus LaTeX

Veranderd door Flisk, 29 september 2014 - 21:19

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 30 september 2014 - 19:58

ik kom er niet uit.

ik heb geprobeerd om de ligging van het zwaartepunt te berekenen met de momentenstelling.

dan kom ik uit op

LaTeX

dit vind ik een vreemde uitkomst.

ik heb het met de tweede regel van Guldin uitgerekent, en dan kom ik uit op:

LaTeX

Veranderd door aadkr, 30 september 2014 - 20:29


#5

kwasie

    kwasie


  • >250 berichten
  • 348 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 oktober 2014 - 19:41

Mijn eerste post klopt niet, het zwaartepunt van een doorsnede is niet gelijk aan de doorsnede van de omwentelingsfiguur.

2h/9 is wel het zwaartepunt voor de doorsnede, maar voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht:

LaTeX

Veranderd door kwasie, 01 oktober 2014 - 19:43


#6

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 01:05

LaTeX

Deze kan sowieso niet kloppen. De afgeknotte kegel heeft een hoogte van 1/2 H. Hij is breder vanonder dan vanboven dus het zwaartepunt moet in de onderste helft van die kegel liggen, dus kleiner dan 1/4 H. Maar LaTeX



Dan rest de vraag wat nu juist is:

 

maar voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht

of:

 

LaTeX

Ik ga er morgenvroeg eens naar kijken en ik zal eens oplossen met beide manieren uit bericht 3. De tweede manier ben ik niet 100% zeker, die heb ik maar snel bedacht. De methode met integraal geeft sowieso het juiste antwoord.

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#7

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 09:38

Ik dacht dat het met deze aanpak moot lukken.

 

(er zijn drie zwaartepunten in het spel, die van de hele kegel, de afgeknotte kegel, die van het afgeknotte deel(de afknotting))

 

Stel de hoogte van de niet afgeknotte kegel op 12p

Bepaal dan het zwaartepunt van de afknotting. (in temen van p)

Stel de hoogte van het zwaartepunt van de afgeknotte kegel op x.

Nu kan hieruit de hoogte van het zwaartepunt de hele kegel berekend worden in termen van x en p

(Immers de verhoudingen van de inhouden van de afgekotte en de afknoting zijn bekend.)

 

Ook is het zwaarte punt van de gehele kegel bekend in termen van p.

Hieruit is dus x te vinden.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 10:54

ik kom er niet uit.

ik heb geprobeerd om de ligging van het zwaartepunt te berekenen met de momentenstelling.

dan kom ik uit op

LaTeX

 

Laat je berekening eens zien, gewoon met de momentenstelling ...


#9

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 11:20

Safe, ik zal proberen om vanavond mijn berekening te laten zien m.b.v. de momentenstelling.

ik wil bij deze alle gebruikers die hebben gereageert op mijn topic alvast hartelijk bedanken.

img046.jpg

Veranderd door aadkr, 02 oktober 2014 - 11:24


#10

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 11:43

voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht:

Ik kom net hetzelfde uit indien ik de eerste methode uit bericht 3 gebruik, dit lijkt me dus de juiste oplossing.

@aadkr wil je dat ik de integraal post of liever nog even wachten?

Het volume van die afgeknotte kegel in uw berekeningen klopt alvast. Voor de rest zie ik niet direct een fout staan. Nu rest enkel nog de integraal te nemen over dV met als argument x, en daarna delen door het volume. A.g.v. uw werkwijze (de afgeknotte kegel verdelen in "platte" cilinders), is het maar een enkelvoudige integraal voor x=0 tot h/2.

Veranderd door Flisk, 02 oktober 2014 - 11:50

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#11

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 11:51

Beste Flisk,

Ik vind het uiteraard goed als je de oplossing wilt posten.

toch wil ik ook mijn berekening geven aan Safe m.b.v. de momentenstelling.

maar dat zal ik proberen om vanavond te doen, want met behulp van die momentenstelling moet het volgens mij ook mogelijk zijn om op de juiste uitkomst uit te komen.

aad


#12

Flisk

    Flisk


  • >1k berichten
  • 1270 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 12:33

Ik heb eerlijk gezegd nog nooit gehoord van de momentenstelling dus ben ook wel benieuwd. Achja, zo heb ik het opgelost, eerste methode uit bericht 3:

De kegel heeft als vergelijking LaTeX


Hier een plot ervan (h en r=1 genomen):
afgeknot.JPG
Eerst en vooral moeten we het volume vinden. Dit zal best gaan met cilindercoördinaten:
LaTeX
Uitrekenen geeft:
LaTeX

Nu om de z coördinaat van het zwaartepunt te berekenen, voegen we een extra z toe aan het argument van de volume integraal en delen we daarna door het volume:
LaTeX
Wat geeft na uitwerking:
LaTeX

Veranderd door Flisk, 02 oktober 2014 - 12:34

Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.

#13

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 17:15

 Flisk: met behulp van de momentenstelling kom ik nu ook uit op

LaTeX

dit antwoord is correct.


#14

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 19:32

img047.jpg

 


#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 oktober 2014 - 20:00

Is dit de momentenstelling ... ?







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures