stel we hebben een rechte cilinderkegel met straal grondvlak =R en hoogte is H
dan is bekend dat het zwaartepunt op 1/3 van de hoogte ligt.
maar als we de kegel op een hoogte van 1/2.H doormidden snijden , krijgen we een afgeknotte cilinderkegel met straal grondvlak =R en hoogte =1/2.H.
waar ligt nu het zwaartepunt?
Laatste berichten
-
08:24
Schroefdraad berekening 7
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde] zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 821
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
2/9 maal de hoogte.
De (afgeknotte) kegel kun je zien als een (afgeknotte) driehoek die om de hoogte as geroteerd wordt.
Het zwaartepunt van de driehoek is gelijk aan die van de kegel, de rotatie om de hoogte-as maakt geen verschil.
wat er overblijft is een vierkant (met hoogte = h/2 , breedte = r/2) met een driehoek ernaast (met hoogte = h/2 , breedte = r/2).
Zwaartepunt Z:
Zvierkant = 1/2 * h/2 = h/4
Zdriehoek = 1/3 * h/2 = h/6
Het vierkant heeft 2x zoveel oppervlakte als de driehoek.
Zafgeknotte kegel = (h/4 + h/4 + h/6) * 1/3 = 2h/9
Ik heb het lichaam opgedeeld in bekende stukken en die evenredig gesommeerd.
Het is natuurlijk ook op te lossen met een integraal.
De (afgeknotte) kegel kun je zien als een (afgeknotte) driehoek die om de hoogte as geroteerd wordt.
Het zwaartepunt van de driehoek is gelijk aan die van de kegel, de rotatie om de hoogte-as maakt geen verschil.
wat er overblijft is een vierkant (met hoogte = h/2 , breedte = r/2) met een driehoek ernaast (met hoogte = h/2 , breedte = r/2).
Zwaartepunt Z:
Zvierkant = 1/2 * h/2 = h/4
Zdriehoek = 1/3 * h/2 = h/6
Het vierkant heeft 2x zoveel oppervlakte als de driehoek.
Zafgeknotte kegel = (h/4 + h/4 + h/6) * 1/3 = 2h/9
Ik heb het lichaam opgedeeld in bekende stukken en die evenredig gesommeerd.
Het is natuurlijk ook op te lossen met een integraal.
-
- Berichten: 1.264
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Ik zie twee manieren om dit probleem aan te pakken. De eerste manier is een algemene manier die gebruikt kan worden bij elk soort object.
Je zou een assenstelsel kunnen kiezen waarbij de x en y coördinaat van het zwaartepunt nul is (door symmetrie). Dan wordt de z coördinaat gegeven door volgende volume integraal:
Nu de andere manier die ik in gedachten heb. Veronderstel een constante dichtheid. Je weet blijkbaar al waar het zwaartepunt van een kegel ligt. Je snijdt er een stuk af, dit is weer een kegel waarvan je het zwaartepunt dus ook kan berekenen. Daarvan kan je ook het volume berekenen (en dus de massa). Je hebt nu dus twee objecten waarvan je het gezamelijk massamiddelpunt kent. Enkel van die afgeknotte kegel ken je de z-coördinaat van het massamiddelpunt niet. Dan gebruik je gewoon de definitie van massamiddelpunt:
De enige onbekende is dan dus
Je zou een assenstelsel kunnen kiezen waarbij de x en y coördinaat van het zwaartepunt nul is (door symmetrie). Dan wordt de z coördinaat gegeven door volgende volume integraal:
\(\frac{1}{massa}\iiint\limits_V z \rho dxdydz\)
Waarbij het gebied V dus gewoon die afgeknotte kegel is.Nu de andere manier die ik in gedachten heb. Veronderstel een constante dichtheid. Je weet blijkbaar al waar het zwaartepunt van een kegel ligt. Je snijdt er een stuk af, dit is weer een kegel waarvan je het zwaartepunt dus ook kan berekenen. Daarvan kan je ook het volume berekenen (en dus de massa). Je hebt nu dus twee objecten waarvan je het gezamelijk massamiddelpunt kent. Enkel van die afgeknotte kegel ken je de z-coördinaat van het massamiddelpunt niet. Dan gebruik je gewoon de definitie van massamiddelpunt:
\(z_{totaal}=\frac{z_{afgek}m_{afgek}+z_{hlvk}m_{hlvk}}{m_{totaal}}\)
Waarbij afgek staat voor 'afgeknotte kegel' en hlvk staat voor die afgesneden 'halve kegel'.De enige onbekende is dan dus
\(z_{afgek}\)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
ik kom er niet uit.
ik heb geprobeerd om de ligging van het zwaartepunt te berekenen met de momentenstelling.
dan kom ik uit op
ik heb het met de tweede regel van Guldin uitgerekent, en dan kom ik uit op:
ik heb geprobeerd om de ligging van het zwaartepunt te berekenen met de momentenstelling.
dan kom ik uit op
\(x_{z}=\frac{99}{256} \cdot H \)
dit vind ik een vreemde uitkomst.ik heb het met de tweede regel van Guldin uitgerekent, en dan kom ik uit op:
\(x_{Z}=\frac{2}{9} \cdot H \)
-
- Berichten: 821
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Mijn eerste post klopt niet, het zwaartepunt van een doorsnede is niet gelijk aan de doorsnede van de omwentelingsfiguur.
2h/9 is wel het zwaartepunt voor de doorsnede, maar voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht:
2h/9 is wel het zwaartepunt voor de doorsnede, maar voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht:
\(
z_{totaal}=\frac{z_{afgek}m_{afgek}+z_{hlvk}m_{hlvk}}{m_{totaal}}
\)
\)
-
- Berichten: 1.264
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Deze kan sowieso niet kloppen. De afgeknotte kegel heeft een hoogte van 1/2 H. Hij is breder vanonder dan vanboven dus het zwaartepunt moet in de onderste helft van die kegel liggen, dus kleiner dan 1/4 H. Maaraadkr schreef:\(x_{z}=\frac{99}{256} \cdot H \)
\(\frac{99}{256}>\frac{1}{4}\)
Dan rest de vraag wat nu juist is:
of:kwasie schreef: maar voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht
Ik ga er morgenvroeg eens naar kijken en ik zal eens oplossen met beide manieren uit bericht 3. De tweede manier ben ik niet 100% zeker, die heb ik maar snel bedacht. De methode met integraal geeft sowieso het juiste antwoord.aadkr schreef:\(x_{Z}=\frac{2}{9} \cdot H \)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Berichten: 4.320
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Ik dacht dat het met deze aanpak moot lukken.
(er zijn drie zwaartepunten in het spel, die van de hele kegel, de afgeknotte kegel, die van het afgeknotte deel(de afknotting))
Stel de hoogte van de niet afgeknotte kegel op 12p
Bepaal dan het zwaartepunt van de afknotting. (in temen van p)
Stel de hoogte van het zwaartepunt van de afgeknotte kegel op x.
Nu kan hieruit de hoogte van het zwaartepunt de hele kegel berekend worden in termen van x en p
(Immers de verhoudingen van de inhouden van de afgekotte en de afknoting zijn bekend.)
Ook is het zwaarte punt van de gehele kegel bekend in termen van p.
Hieruit is dus x te vinden.
(er zijn drie zwaartepunten in het spel, die van de hele kegel, de afgeknotte kegel, die van het afgeknotte deel(de afknotting))
Stel de hoogte van de niet afgeknotte kegel op 12p
Bepaal dan het zwaartepunt van de afknotting. (in temen van p)
Stel de hoogte van het zwaartepunt van de afgeknotte kegel op x.
Nu kan hieruit de hoogte van het zwaartepunt de hele kegel berekend worden in termen van x en p
(Immers de verhoudingen van de inhouden van de afgekotte en de afknoting zijn bekend.)
Ook is het zwaarte punt van de gehele kegel bekend in termen van p.
Hieruit is dus x te vinden.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
aadkr schreef: ik kom er niet uit.
ik heb geprobeerd om de ligging van het zwaartepunt te berekenen met de momentenstelling.
dan kom ik uit op\(x_{z}=\frac{99}{256} \cdot H \)
Laat je berekening eens zien, gewoon met de momentenstelling ...
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Safe, ik zal proberen om vanavond mijn berekening te laten zien m.b.v. de momentenstelling.
ik wil bij deze alle gebruikers die hebben gereageert op mijn topic alvast hartelijk bedanken.
ik wil bij deze alle gebruikers die hebben gereageert op mijn topic alvast hartelijk bedanken.
- img046.jpg (82.5 KiB) 1314 keer bekeken
-
- Berichten: 1.264
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Ik kom net hetzelfde uit indien ik de eerste methode uit bericht 3 gebruik, dit lijkt me dus de juiste oplossing.kwasie schreef: voor de afgeknotte kegel zelf is het 11h/56 volgens Flisk zijn bericht:
@aadkr wil je dat ik de integraal post of liever nog even wachten?
Het volume van die afgeknotte kegel in uw berekeningen klopt alvast. Voor de rest zie ik niet direct een fout staan. Nu rest enkel nog de integraal te nemen over dV met als argument x, en daarna delen door het volume. A.g.v. uw werkwijze (de afgeknotte kegel verdelen in "platte" cilinders), is het maar een enkelvoudige integraal voor x=0 tot h/2.
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Beste Flisk,
Ik vind het uiteraard goed als je de oplossing wilt posten.
toch wil ik ook mijn berekening geven aan Safe m.b.v. de momentenstelling.
maar dat zal ik proberen om vanavond te doen, want met behulp van die momentenstelling moet het volgens mij ook mogelijk zijn om op de juiste uitkomst uit te komen.
aad
Ik vind het uiteraard goed als je de oplossing wilt posten.
toch wil ik ook mijn berekening geven aan Safe m.b.v. de momentenstelling.
maar dat zal ik proberen om vanavond te doen, want met behulp van die momentenstelling moet het volgens mij ook mogelijk zijn om op de juiste uitkomst uit te komen.
aad
-
- Berichten: 1.264
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Ik heb eerlijk gezegd nog nooit gehoord van de momentenstelling dus ben ook wel benieuwd. Achja, zo heb ik het opgelost, eerste methode uit bericht 3:
De kegel heeft als vergelijking
Eerst en vooral moeten we het volume vinden. Dit zal best gaan met cilindercoördinaten:
De kegel heeft als vergelijking
\(z=-\frac{h}{r}\sqrt{x^2+y^2}+h\)
Hier een plot ervan (h en r=1 genomen):- afgeknot.JPG (31.19 KiB) 1314 keer bekeken
\(volume=4\int_{0}^\frac{h}{2}\int_{0}^\frac{\pi}{2}\int_{0}^{r-rz/h}rdrd\phi dz\)
Uitrekenen geeft:\(volume=\frac{7}{24}r^2h\pi\)
Nu om de z coördinaat van het zwaartepunt te berekenen, voegen we een extra z toe aan het argument van de volume integraal en delen we daarna door het volume:\((4\int_{0}^\frac{h}{2}\int_{0}^\frac{\pi}{2}\int_{0}^{r-rz/h}rzdrd\phi dz)/volume\)
Wat geeft na uitwerking:\((\frac{11}{192}r^2h^2\pi)/(\frac{7}{24}r^2h\pi)=\frac{11}{56}h\)
Je leest maar niet verder want je, je voelt het begin van wanhoop.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Flisk: met behulp van de momentenstelling kom ik nu ook uit op
\(x_{Z}=\frac{11}{56} \cdot H \)
dit antwoord is correct.-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
- img047.jpg (154.84 KiB) 1314 keer bekeken
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: zwaartepunt afgeknotte rechte cilinder kegel
Is dit de momentenstelling ... ?
