Springen naar inhoud

bewijs gehele getallen met breuk



  • Log in om te kunnen reageren

#1

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 oktober 2014 - 17:15

Laat a,b,c drie natuurlijke (positieve) getallen zijn die voldoen aan

 

LaTeX

 

Er wordt nu beweerd dat de grootste gemeenschappelijke deler van a en b groter is dan 1.

 

Bewijs:

 

als LaTeX

geldt, dan geldt ook LaTeX .

 

Stel dat a,b oneven zijn. Dan is  a * b   ook oneven. a + b  is altijd even (twee oneven bij elkaar optellen geeft even), en een vermenigvuldiging met c kan dit nooit meer oneven maken. Met andere woorden, a,b kunnen niet beide oneven zijn.

 

Stel a,b zijn even. Dat is  a * b  ook even.  (a + b)  is ook even. Als we nu een  c kunnen vinden (oneven of even) dan is het goed.

 

Stel dat een even is en een oneven. Dan is  a \cdot b even. Echter (a + b)  is oneven. Nu moet LaTeX

wel even zijn om de vergelijking kloppend te maken.

 

Dit houdt dus in, of a,b  zijn beide even, of een van beide is oneven en dan volgt dat c  even moet zijn als er al een oplossing bestaat.

 

Nu stel dat a,b even zijn. Nu stel dat er een c bestaat die voldoet aan de breuk, dan weten we direct dat a en b deelbaar zijn door een getal groter dan 1, want a en b zijn even en dus deelbaar door 2 > 1. Dit gedeelte is voldaan. 

 

Nu de situatie waarbij eentje even is en de ander oneven. Dus zeg a is van de vorm a = 2k en b = 2n + 1. met n en k natuurlijke getallen (inclusief 0).

 

De breuk geeft dan:

 

LaTeX

.

 

Als nu een c bestaat die hieraan voldoen (die geheeltallig is) dan zijn we nog niet klaar. We moeten dan aantonen dat ze beide een deler hebben groter dan 1. lastig. Echter, misschien heeft c bepaalde eigenschappen als deze geheeltallig is. We weten dat:

 

LaTeX

.

 

en even is (zie bovenaan). Als ik nu getallen probeer zie ik inderdaad dat voor goede keuzes voor k en n, er een geheel getal uitkomt en dat ze dan inderdaad deelbaar zijn door een getal groter dan 1. Maar ik weet niet of dit tweede deel zo ''lekker'' zal gaan met bewijzen.

 

Verder heb ik het volgende ontdekt : pak een geheeltallig getal a >1 . Als het deelbaar is door 2, dan vermenigvuldig a met (2-1) en dit geeft een getal b. Dit voldoet aan de breuk en beide getallen zijn deelbaar door a >1 dus mooi zo. Als a deelbaar is door 3, dan vermenigvuldig a met (3-1) en dit geeft getal b. Dit voldoet aan de breuk en beide zijn deelbaar door a > 1, dus mnooi. Als het deelbaar is door 4, dan ... etc etc.

 

Echter dit een methode die alle delers afgaat van het getal a, maar hierdoor kan ik uitiendelijk paren a,b missen, namelijk (10,15) of (14,35).

 

Eigenlijk 2 vragen, kan iemand mij helpen het restant te bewijzen? bvd!


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 08:20

Ik kan niet zo goed uit aan je bewijs... Je argumenteert dat er een c bestaat voor een even/oneven a/b, maar dan? Waarom bewijst dat dat ggd(a,b) > 1? Sowieso maak je het te ingewikkeld in mijn ogen.
 
Merk op dat je mag veronderstellen dat ggd(a,b,c) = 1. Inderdaad, stel dat ggd(a,b,c) = n, i.e. a = n*a', b = n*b' en c = n*c' met gcd(a', b', c') = 1 dan hebben we
LaTeX
Zie je dat in?
Stel nu dus dat ggd(a,b,c) = 1 en dat ggd(a,b) = g (ik zeg niet hoe groot g is, kan ook 1 zijn!). Dan weten we dat a=g*a1 en b=g*b1 met ggd(a1,b1) = 1 (en dus ook ggd(c,a1,b[/size]1) = 1 daar ggd(a,b,c) = 1) dan weten we dat
LaTeX
Uit deze laatste gelijkheid kan je nu halen dat a1+b1 een deler is van g. Waarom? En hoe helpt dat?
 
Edit: hmm, LaTeX gaat om een of andere reden mis. Kan je er nog aan uit zo (als je je zoom vergroot is het hopelijk leesbaar)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 09:23

Waarom zijn a noch b deler van c?


#4

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 09:31

Dus allereerst laat je zien dat de grootste gemene deler van a,b,c gelijk moet zijn aan 1. Je argumeert: als er een ggd bestaat groter zegge N, dan staat er:

 

1/(Na') + 1/(Nb') = 1/(Nc'), waarbij ggd(a',b',c') = 1. (dit kun je claimen omdat anders ggd(a,b,c) niet N is maar wat anders?) Maar dan staat er:

 

1/a' + 1/b' = 1/c'. De N doet er niet te doe, de grootste gemene deler is 1.

 

Dan veronderstel je dat er een ggd(a,b) bestaat die gelijk is aan g. Dus a = g*a1  en b = g*a2, waarvoor ggd(a1,a2) = 1. (Dit geldt omdat anders een grotere/andere g hadden kunnen vinden?). De breuk herschrijven geeft dan dat:

 

(a+b)*c = a*b, en dus:

 

(g*a1 + g*a2) *c = g*a1 *g*a2

g(a1+a2)*c = g^2 *a1*a2

(a1+a2)*c = g * a1*a2.

 

Nu claim je dat (a1+a2) een deler is van g. Dit moet gelden, omdat moet gelden dat:

 

 c = g * (a1a2)/(a1+a2).

 

c moet geheeltallig zijn.  Dus g moet een veelvoud zijn van (a1+a2). Dus dan is g deelbaar door (a1+a2) anders geen geheeltallige c. Echter, is a1 en a2 een deler van c. En was dat nu juist niet het geval? M.a.w. moet g zodanig zijn dat het een veelvoud is van (a1+a2), maar ook weer gedeeld is door a1 en a2? Help!

 

Stel dat we dit probleem niet hebben. Dat houdt in dat g = (a1+a2) * k. Maar we weten dat a1 en a2 minimaal waarde 1 hebben, als het niet meer is. Dus a1+a2>=2. Maar dan is de grootste gemene deler van a en b sowieso ook groter dan 2. Maar dat bewijst het geheel.

 

Klopt dit zo? En zo ja, erg bedankt voor de ondersteuning.

Veranderd door lucca, 07 oktober 2014 - 09:51


#5

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 09:37

Waarom zijn a noch b deler van c?

 

Volgens mij is dit resultaat een gevolg van Drieskes' eerste regel. Echter, kan ik ook zoiets argumenten:

 

Stel dat a>1 en b>1 delers zijn van c. Dan kan ik c schrijven als c = a * b * k. Met kan k>1 een getal zodanig dat c geheeltallig blijft.

 

Dan volgt:

 

1/a + 1/b = 1/c

1/a + 1/b = 1/(abk)

ab*(1/a + 1/b) = ab*(1/(abk))

b + a = 1/k.

 

Gezien k>1 kan dit nooit waar zijn. Dus kan niet.


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 10:29

Prima!

Je kan ook het volgende inzien: Voor alle natuurlijke getallen n geldt: 1/a >= 1/(na).

 

Nu moet: (a+b)|ab of ab=c(a+b) en a|(ab) dus a| ...


#7

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 10:35

Prima!

Je kan ook het volgende inzien: Voor alle natuurlijke getallen n geldt: 1/a >= 1/(na).

 

Nu moet: (a+b)|ab of ab=c(a+b) en a|(ab) dus a| ...

 

bedoel je met (a+b)|ab dat (a+b) deelbaar moet zijn door ab. dus dat ab = c * (a+b). Of bedoel je die ''of'' nu anders?

 

Zo ja: bedoel je dan dat a geschreven kan worden als een product van b en a. maar dan staat er:

 

1/a + 1/b = 1/c

 

1/(ab) + 1/b <= 1/c (op basis van jouw stelling). en dat spreekt elkaar tegen voor het getal b >1. bedoel je zoiets? Of sla ik de plank nu mis.

Veranderd door lucca, 07 oktober 2014 - 10:44


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 10:52

De notatie p|q betekent p is deler van q of er is een geheel getal k zo dat kp=q (bv 3|6 ...)

Veranderd door Safe, 07 oktober 2014 - 11:16


#9

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 11:46

Ok. dus (a+b) moet een deler zijn van ab en a is een deler van ab, dus a is een deler van? Ik zou het echt niet weten sorry.


#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 11:51

We hebben: ab=c(a+b)

Als links gedeeld kan worden door a, dan moet ook rechts ...


#11

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 12:22

Ok ok. Dus we hebben (a+b) is een deler van ab. En dus (a+b) is een deler van a. Verder hebben we dat a een deler is van (a+b). maar dat lijkt gek. Is dit wat je wilt laten zien?


#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 12:38

Nee, als je links kan delen door a, dan ook rechts ...

Is a deler van c? Nee, zie post 5 en 6, dus moet a deler zijn van a+b ...


#13

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 12:48

Even opnieuw:

 

a moet dus een deler zijn van a+b. Dit volgt uit a*b = c*(a+b). Hier weten we dat a geen deler is van c (want dat wisten we al vanaf het begin). En dus is a een deler van (a+b). maar dan is a ook een deler van a en ook een deler van b. Dus zijn a en b beide deelbaar door a. En a moet groter zijn dan 1 om de breuk kloppend te maken dus dit is ook een bewijs?

 

 

 

 


#14

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 12:52

Wat weet je van ggd(a,b) als a|b?


#15

lucca

    lucca


  • >250 berichten
  • 758 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 oktober 2014 - 13:07

dat de ggd(a,b) >= a. toch?







Also tagged with one or more of these keywords: wiskunde

0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures