Springen naar inhoud

Hoe bereken je het maximum van de som van twee sinusen?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

K_elektrotechniek

    K_elektrotechniek


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 16:47

Hoe bereken je het maximum van de som van twee sinusen?

ofwel:

ymax= 0.8 cos(5.8*t)+0.26 sin(8*t)

Ik zat zelf te denken aan het 0 punt berekenen van de afgeleide. Maar met een dubbele sinus is dat niet zo makelijk.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 17:31

Er ligt zo'n punt op t=6.492 maar hoe je dat met middelbareschool techniek moet vinden zie ik niet zo een twee drie.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#3

K_elektrotechniek

    K_elektrotechniek


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 17:34

En hoe heb jij dit gevonden tempelier?


#4

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 18:06

Numeriek.

Wel heb ik het door Maple laten uitrekenen.

 

Ook heb ik er een oud gonio boek van Wijdenis op na geslagen,

maar dit type stond er niet in.

 

Hoplelijk heeft een ander hier wel een methode.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#5

kwasie

    kwasie


  • >250 berichten
  • 348 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 20:57

De afgeleide bepalen is niet zo moeilijk.

maakt van 5,8t een u1 en van 8t een u2. En pas 2x de kettingregel toe.

De afgeleide van cos(u) is -sin(u), en dan de afgeleide voor u. Hetzelfde voor de tweede term, en dan vereenvoudigen.

 

Dan heb je een formule a·cos(b·t) - c·sin(d·t) = 0 (gelijkstellen aan nul)

Hoe druk je dat uit in t?


#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 oktober 2014 - 21:16

ymax= 0.8 cos(5.8*t)+0.26 sin(8*t)

 

Staat er: 

 

LaTeX

Veranderd door Safe, 09 oktober 2014 - 21:21


#7

Hvb

    Hvb


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2014 - 17:56

y = 0,8.cos(5,8.t) + 0,26.sin(8.t). Wat is het maximum van y?

 

2 sinusfuncties bij elkaar opgeteld die elk een eigen amplitude en frequentie hebben heeft meerdere, meestal verschillende, lokale maxima. Het grootst mogelijke maximum ontstaat als de afzonderlijke maxima samenvallen: ymax = 0,8 + 0,26 = 1,06

 

De vraag of de afzonderlijke maxima exact kunnen samenvallen en bij welke t is lastiger uit te rekenen:

 

  cos (5,8.t) is maximaal voor t = n.2π/5,8 met n = 0, 1, 2,...

  sin (8.t) is maximaal voor t = m.2π/8 + π/(2.8) met m = 0, 1, 2,...

 

De maxima vallen samen bij gelijke t: n.2π/5,8 = m.2π/8 + π/(2.8) ⇒n = 0,725.m + 0,18125

 

Ik veronderstel dat er geen natuurlijke getallen n en m bestaan die hier exact aan voldoen, maar wel bij benadering. Nagerekend voor n = 0 t/m 25 vindt ik de beste benadering bij m = 8, namelijk n = 5,98125; t = 6,479535 en ymax =1,0545 (bijna 1,06).

 


#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 10 oktober 2014 - 18:11

y = 0,8.cos(5,8.t) + 0,26.sin(8.t). Wat is het maximum van y?

 

Hoe weet je dit?


#9

Hvb

    Hvb


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 oktober 2014 - 21:27

Als je een sinus en een cosinus tekent met verschillende frequentie en amplitude en dan grafisch sommeert wordt het probleem veel duidelijker.


#10

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2014 - 09:11

y = 0,8.cos(5,8.t) + 0,26.sin(8.t). Wat is het maximum van y?
 
2 sinusfuncties bij elkaar opgeteld die elk een eigen amplitude en frequentie hebben heeft meerdere, meestal verschillende, lokale maxima. Het grootst mogelijke maximum ontstaat als de afzonderlijke maxima samenvallen: ymax = 0,8 + 0,26 = 1,06
 
De vraag of de afzonderlijke maxima exact kunnen samenvallen en bij welke t is lastiger uit te rekenen:
 
  cos (5,8.t) is maximaal voor t = n.2π/5,8 met n = 0, 1, 2,...
  sin (8.t) is maximaal voor t = m.2π/8 + π/(2.8) met m = 0, 1, 2,...
 
De maxima vallen samen bij gelijke t: n.2π/5,8 = m.2π/8 + π/(2.8) ⇒n = 0,725.m + 0,18125
 
Ik veronderstel dat er geen natuurlijke getallen n en m bestaan die hier exact aan voldoen, maar wel bij benadering. Nagerekend voor n = 0 t/m 25 vindt ik de beste benadering bij m = 8, namelijk n = 5,98125; t = 6,479535 en ymax =1,0545 (bijna 1,06).

Als aangenomen wordt dat de decimalen getallen komen van echte breuken, dan is de vergelijking Diophantisch te maken.

100000n-72500m=18125
ook wel:
160n-116m=29

Nu geldt:
De Diofantische vergelijking ax+by=c in de variabelen x en y,
dus met gehele a, b, c, x en y,
heeft alleen dan oplossingen als de ggd van a en b een deler is van c.

4 is geen deler van 29 dus zouden er geen oplossingen zijn.

---------------------------
Het kan zijn dat de vragensteller de opgave niet geheel juist heeft gegeven.
Of dat ik ergens een reken fout heb gemaakt. (dat gebeurt me nog al eens)
En dat er toch een oplossing is.

Hoe dan ook dit lijkt me geen middelbare school stof.

Veranderd door tempelier, 11 oktober 2014 - 10:53

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#11

K_elektrotechniek

    K_elektrotechniek


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2014 - 09:35

y = 0,8.cos(5,8.t) + 0,26.sin(8.t). Wat is het maximum van y?

 

2 sinusfuncties bij elkaar opgeteld die elk een eigen amplitude en frequentie hebben heeft meerdere, meestal verschillende, lokale maxima. Het grootst mogelijke maximum ontstaat als de afzonderlijke maxima samenvallen: ymax = 0,8 + 0,26 = 1,06

 

De vraag of de afzonderlijke maxima exact kunnen samenvallen en bij welke t is lastiger uit te rekenen:

 

  cos (5,8.t) is maximaal voor t = n.2π/5,8 met n = 0, 1, 2,...

  sin (8.t) is maximaal voor t = m.2π/8 + π/(2.8) met m = 0, 1, 2,...

 

De maxima vallen samen bij gelijke t: n.2π/5,8 = m.2π/8 + π/(2.8) ⇒n = 0,725.m + 0,18125

 

Ik veronderstel dat er geen natuurlijke getallen n en m bestaan die hier exact aan voldoen, maar wel bij benadering. Nagerekend voor n = 0 t/m 25 vindt ik de beste benadering bij m = 8, namelijk n = 5,98125; t = 6,479535 en ymax =1,0545 (bijna 1,06).

 

 

Heel erg bedankt Hvb. Ik zat ook al in deze richting te denken maar ik weet niet waar je π/(2.8) voor nodig hebt.

 

 

---------------------------
Het kan zijn dat de vragensteller de opgave niet geheel juist heeft gegeven.
Of dat ik ergens een reken fout heb gemaakt. (dat gebeurt me nog al eens)
En dat er toch een oplossing is.

Hoe dan ook dit lijkt me geen middelbare school stof.

 

Jij ook bedankt tempelier voor je verdere uitwerking. Dit is inderdaat geen midelbare school vraag, maar een vraag die ik vaker ben tegen gekomen in mijn studie.

Ik zal twee praktijkvoorbeelden noemen.

- Bij radio techniek kan gebruik gemaakt worden van frequentie modulatie. Om je schakeling goed te ontwerpen wil je graag weten wat de maximale spanning is die in het signaal voorkomt.

- Als voorwerpen gaan trillen met het model: ongedempte gedwonge trilling. Hierbij wil je graag weten wat de maximale uitwijking is.


#12

tempelier

    tempelier


  • >1k berichten
  • 1765 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2014 - 09:43

#11

 

Als je alleen maar praktisch werkt, schaf dan een wiskunde programma aan zoals Maple.

 

Dan vind je vrij snel het antwoord in zoveel decimalen als je maar wilt.

In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

#13

K_elektrotechniek

    K_elektrotechniek


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 oktober 2014 - 11:31

#11

 

Als je alleen maar praktisch werkt, schaf dan een wiskunde programma aan zoals Maple.

 

Dan vind je vrij snel het antwoord in zoveel decimalen als je maar wilt.

Normaal doe ik het ook met matlab maar wilde graag weten of er een algrabraische manier voor was.


#14

Hvb

    Hvb


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2014 - 11:29

 

Heel erg bedankt Hvb. Ik zat ook al in deze richting te denken maar ik weet niet waar je π/(2.8) voor nodig hebt.

 

Door π/(2.8) op te tellen bij m.2π/8 bereik je periodiek het maximum 1 van sin(8.t). Algemeen: sin(2πm + π/2) = 1 voor m = 0, 1, 2,..


#15

Hvb

    Hvb


  • 0 - 25 berichten
  • 6 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 oktober 2014 - 11:49

Als aangenomen wordt dat de decimalen getallen komen van echte breuken, dan is de vergelijking Diophantisch te maken.

100000n-72500m=18125
ook wel:
160n-116m=29

Nu geldt:
De Diofantische vergelijking ax+by=c in de variabelen x en y,
dus met gehele a, b, c, x en y,
heeft alleen dan oplossingen als de ggd van a en b een deler is van c.

4 is geen deler van 29 dus zouden er geen oplossingen zijn.

---------------------------
Het kan zijn dat de vragensteller de opgave niet geheel juist heeft gegeven.
Of dat ik ergens een reken fout heb gemaakt. (dat gebeurt me nog al eens)
En dat er toch een oplossing is.

Hoe dan ook dit lijkt me geen middelbare school stof.

 

Tempelier:

Bedankt voor je aanvulling. Ik kende het bestaan van Diophantische vergelijkingen niet. Wikipedia heeft er een mooie pagina over.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures