Botsende satellieten

Hvb

Hoe lang duurt het voordat 2 satellieten die in een zelfde baan om de aarde draaien onder invloed van onderlinge gravitatie tegen elkaar botsen?

Stel dat de satellieten een massa van m₁ en m₂ hebben, de onderlinge afstand van de zwaartepunten r bedraagt en de gravitatieconstante G. Stel als beginvoorwaarden een onderlinge afstand r_o en stilstand. Uit de eerste wet en de gravitatiewet van Newton volgt de differentiaalvergelijking:

d²r/dt² . r² = -G(m₁ + m₂), met r(0) = r_o en dr/dt = 0

Het lukt me niet om deze differentiaalvergelijking analytisch op te lossen. Kan dat wel en zo ja, hoe dan?

Ook wil ik een concreet voorbeeld checken, namelijk 2 satellieten van elk 80 kg op 100 meter afstand zouden er 125 dagen over doen om tot botsing te komen. G = 6,67428 × 10^-11 Nm²kg^-2.

mathfreak

Deel in je d.v. eens links en rechts door r² en kijk eens of het je dan wel lukt om de d.v. op te lossen.

Drieske

Opmerking moderator

Dit onderwerp past beter in het huiswerkforum en is daarom verplaatst.

Hvb

Het is mezelf gelukt deze d.v. om te vormen tot een integraal, maar die kan ik niet verder meer oplossen. Hoe verder?

Met a = G(m1 + m2) luidt de d.v.

d²r/dt². r² = -a

Beide zijden vermenigvuldigen met (dr/dt)/r²

d²r/dt². dr/dt = -a/r². dr/dt

½ d[(dr/dt)²] = (-a/r²) . dr

Integreren

(dr/dt)² = -2aʃ dr/r² + C1 = 2a/r + C1

dr/dt = ±(2a/r + C1)^1/2

Integreren

t = ±ʃ dr/ (2a/r + C1)^1/2 + C2

Is deze integraal analytisch oplosbaar? Mij lukt het niet.

dirkwb

Volgens mij is dit een Bernoulli DV.

Th.B

Ik begrijp beide aanpakken niet. In de differentiaalvergelijking van TS zit, als ik het goed lees, nergens de zwaartekracht van de aarde verstopt. Los daarvan is de algemene oplossing van dat type natuurlijk allang bekend, dat heeft Newton opgelost. Het is een kegelsnede, en afhankelijk van de beginvoorwaarden een ellips, parabool of hyperbool.
In de aanpak van dirkwb kloppen de eenheden niet. Verder: waar is nu de aantrekkingskracht tussen de satellieten gebleven?
Kan TS misschien de originele vraag letterlijk posten? Waar komt deze vraag vandaan? Misschien weten we dan iets meer over het niveau waarop de oplossing gegeven moet worden. Wat weten we verder over de banen van de satellieten? Wat zijn de beginvoorwaarden? Dat wordt bij het numerieke voorbeeld ook niet gezegd, maar dat is wel essentieel.

Benm

Als je de aarde niet meetelt in de berekening zullen ze nooit op elkaar botsen. Ze blijven draaien rond hun gezamelijke zwaartepunt, net als dubbelsterren dat doen.

Bekeken vanuit het systeem van 2 objecten die rond elkaar draaien moet je energie onttrekken aan dat systeem om er uiteindelijk voor te zorgen dat ze tegen elkaar aan komen. De gravitatie(gradient) van een relatief heel zwaar object als de aarde kan daar mogelijk voor zorgen, maar zonder dat mee te rekenen is er geen enkele kracht (afgezien van getijdekrachten indien het geen ideale massa's zijn) die de twee objecten dichter bij elkaar zou brengen.

EvilBro

Dit is het Drielichamenprobleem. Dit is dus niet in het algemeen analytisch oplosbaar.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Botsende satellieten

Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten

Re: Botsende satellieten