Springen naar inhoud

Een vector tussen twee gebeurtenissen?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 14 oktober 2014 - 18:27

Bij mijn nadere studie van de relativiteitstheorie lees ik dat we ons tussen twee gebeurtenissen A en B een vector (als "geometrisch object") kunnen denken die onafhankelijk is van het referentiestelsel waarin we die gebeurtenissen A en B van coördinaten voorzien. Voor een vector tussen twee punten in een driedimensionale Euclidische ruimte kan ik mij dat goed voorstellen, maar voor de ruimtetijd lukt me dat niet.

 

Je zou zo'n vector wel kunnen definiëren als het geordende tweetal (A,B), maar dan zijn dergelijke vectoren alleen gelijk als ze identiek zijn. Dat is niet erg interessant en zal vast de bedoeling niet zijn.

 

Hoe zit dat?


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 07:24

Een vector is een welbepaald wiskundig object, waarvoor onder meer geldt dat de oorsprong in elke basis (lees: in elk coordinatensysteem) hetzelfde is. Ik vraag me af hoe je in de relativiteitstheorie dan de oorsprong definieert, waar iedereen het over eens is.

 

EDIT: ik lees het verkeerd. Het gaat hier om een het verschil tussen twee gebeurtenissen, die allen tezamen een vectorruimte vormen. De nulvector is dan natuurlijk wanneer twee gebeurtenissen zich op dezelfde plek op dezelfde tijd afspelen, waar twee onafhankelijke waarnemers het altijd over eens zullen zijn.

Veranderd door physicalattraction, 15 oktober 2014 - 07:27


#3

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 09:07

@Bartjes: ik snap eerlijk gezegd niet wat je probleem is. Een vector in de ruimte-tijd is precies hetzelfde als een vector in de ruimte, alleen gaat het nu om een rijtje van vier getallen in plaats van 3.

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#4

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 14:40

Het probleem komt voort uit dit boek:

 

http://books.google....tsec=frontcover

 

Zie blz. 36-37.

 

Een vector wordt daar voorgesteld als een geometrisch object dat kan worden gedefinieerd en ook bestaat onafhankelijk van de componenten die die vector in een zeker referentiestelsel heeft. In R3 kan ik mij gemakkelijk gerichte lijnstukjes voorstellen die daar de rol van vector spelen, en de projecties van die vector in x-, y- en z-richting geven dan de componenten in het gekozen referentiestelsel. Dergelijk vectoren als gerichte lijnstukjes kunnen inderdaad gedefinieerd worden en bestaan ook als geometrische objecten onafhankelijk van de representatie door middel van coördinaten. (Je leunt daarbij op de Euclidische meetkunde.)

 

Ik wil nog wel geloven dat je vectoren in R4 ook als onafhankelijke geometrische objecten kunt voorstellen, zolang die ruimte Euclidisch gedacht wordt. Maar voor de Minkowski ruimtetijd zie ik niet in waarom dat nog steeds goed zou gaan. Dat vereist mijns inziens een bewijs.

 


#5

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 16:09

Het punt is dat een vector als geometrisch object onafhankelijk is van de geometrie.
De geometrie is bevat in de metriek die het inproduct definieert, deze heeft een vast 'karakter' (-+++) bijvoorbeeld. Het moeilijke deel van een vector visueel voorstellen is hoe je een vier dimensionale ruimte visueel kan voorstellen.
 
Wil je het echt wiskundig rigoureus doen, dan zal je volgens mij meteen moeten overstappen naar manifolds (variëteiten in het nederlands) en de bijbehorende tangent spaces ('rakende ruimten'). Hierin kan je triviaal aantonen dat deze rakende ruimten vectorruimtes zijn.
 

Een vector wordt daar voorgesteld als een geometrisch object dat kan worden gedefinieerd en ook bestaat onafhankelijk van de componenten die die vector in een zeker referentiestelsel heeft


Die onafhankelijkheid van referentiestelsel is net de transformatieregel die altijd dezelfde vorm aanneemt voor vectoren.
Bijgevolg kan door een transformatie (Lorentz transformatie) bepaald worden of een gegeven object een vector is, dan wel een duale vector (of 1-vorm zoals meestal gebruikt in moderne teksten).

#6

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 16:24

Die variëteiten komen pas véél later in het boek aan de orde. :?


#7

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 16:30

Die variëteiten komen pas véél later in het boek aan de orde. :?


Met reden, dat brengt het niveau van abstractie erg hoog (of kan dat toch doen).
Als je dat lukt, zou ik voorlopig het gestelde aannemen als een soort van axioma.
Teksten die verband houden met fysica zijn meestal opgebouwd op zo'n manier dat je een intuitie opbouwt om met de objecten te werken op een "ad-hoc" manier.

Later zal er hoogst waarschijnlijk op terug gekomen worden met de nodige wiskundige exactheid.

#8

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 16:53

@JorisL: Nee, het lijkt me hier niet de bedoeling om variëteiten bij te halen. In dat geval heb je het namelijk over vectoren in de raakruimtes in de punten van de tijd-ruimte variëteit. Als ik het goed begrijp echter, gaat het hier over vectoren in tijd-ruimte zelf. Dit kan zolang we het over vlakke tijd-ruimtes hebben. Op het moment dat je de ART erbij haalt (en dus gekromde tijd-ruimtes) dan kun je de tijd-ruimte inderdaad niet meer als vectorruimte beschouwen en moet je variëteiten erbij gaan halen.


@Bartjes: volgens mij begrijp ik je punt.

 

Als we gebeurtenissen A en B hebben, en een gegeven coordinaten stelsel, dan kunnen we A schrijven als

A = (t0, x0, y0, z0) en B als B = (t1, x1. y1, z1).

Dan kunnen we de vector AB definieren als: (t0 - t1, x0-x1, y0-y1, z0-z1).

 

Het is niet zo moeilijk om aan te tonen dat de ruimte van alle paren van punten A en B op die manier een vectorruimte vormt. Das gewoon een kwestie van axioma's checken.

 

Maar je hebt gelijk dat we daarnaast ook na moeten gaan of dit onafhankelijk is van het gekozen coördinatenstelsel.

Oftewel, stel we hebben vier verschillende gebeurtenissen A, B, C, en D en in een zeker coordinaten stelsel geldt AB = CD. Dan moeten we inderdaad nog aantonen dat deze gelijkheid in ieder ander coördinatenstelsel ook geldt.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 15 oktober 2014 - 16:55

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#9

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 17:00

EDIT: dit gaat natuurlijk niet letterlijk voor alle coördinatenstelsels gelden, dus ik neem aan dat je boek bedoelt dat dit geldt voor ieder inertiaalstelsel. We moeten dan dus bewijzen dat deze gelijkheid invariant is onder translaties, rotaties en Lorentztransformaties.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 15 oktober 2014 - 17:00

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#10

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 18:52

@ Math-E-Mad-X

Zo zou het inderdaad kunnen. Je toont dan aan dat het niet uitmaakt welk inertiaal referentiestelsel je gebruikt. Echter blijft dan onduidelijk wat je coördinaten-onafhankelijke vectoren nu eigenlijk voor dingen zijn. Ik wil mij altijd graag direct van het begin af aan wiskundige objecten kunnen voorstellen waarvan ik dan naderhand kan nagaan aan welke regels ze voldoen. Voor mij is de wiskunde geen spel met symbolen maar een bewezen systeem van uitspraken over ideële objecten.  

 

Kan het ook zo?

 

Laat V de verzameling van alle viervectoren (t,x,y,z) in de vierdimensionale Minkowski ruimtetijd zijn.

 

Laat I de verzameling van alle inertiale referentiestelsels I van de vierdimensionale Minkowski ruimtetijd zijn.

 

Laat T de verzameling zijn van alle transformaties die het ene inertiale referentiestelsel I in het (al dan niet andere) inertiale referentiestelsel I' omzetten.

 

Laat LaTeX

de transformatie zijn die het inertiale referentiestelsel I in het inertiale referentiestelsel I' omzet.

 

Laat tenslotte LaTeX

de viervector in I' zijn waarop de viervector (t,x,y,z) in I door LaTeX wordt afgebeeld. 

 

 

Onder vectoren LaTeX

in de vierdimensionale Minkowski ruimtetijd verstaan we dan die afbeeldingen van I naar V zodanig dat voor alle I en I' uit I geldt dat:

 

LaTeX

Veranderd door Bartjes, 15 oktober 2014 - 18:55


#11

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 20:51

Ik snap niet waarom je hier een vector definieert als een afbeelding van I naar V, terwijl je V al hebt gedefinieerd als de verzameling van vectoren...

 

 

Wat is er mis mee om een vector gewoon te definieren als een equivalentie klasse van paren van punten?

 

Verder vraag ik me af wat er precies in je boek stond. Bedoelen ze niet gewoon dat je een willekeurig punt A als oorsprong kunt kiezen, en dan het paar (A , B) als een vector die specifieke ruimte (met A als oorsprong) kunt beschouwen? In dat geval hoef je die invariantie onder Lorentztransformaties helemaal niet meer te beschouwen, omdat je dan triviaal hebt dat AB = AC if and only if B = C.

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }

#12

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 15 oktober 2014 - 21:30

Ik snap niet waarom je hier een vector definieert als een afbeelding van I naar V, terwijl je V al hebt gedefinieerd als de verzameling van vectoren...

 
Welke gebeurtenissen er door de elementen van V worden aangeduid is afhankelijk van het gekozen referentiestelsel (uit I). Dus dat zijn dan niet de gezochte vectoren, want die moeten onafhankelijk van een gekozen referentiestelsel zijn.
 

Wat is er mis mee om een vector gewoon te definieren als een equivalentie klasse van paren van punten?

 

Dat zou kunnen, vraag is dan alleen wat voor equivalentierelatie we nemen.

 

Verder vraag ik me af wat er precies in je boek stond. Bedoelen ze niet gewoon dat je een willekeurig punt A als oorsprong kunt kiezen, en dan het paar (A , B) als een vector die specifieke ruimte (met A als oorsprong) kunt beschouwen? In dat geval hoef je die invariantie onder Lorentztransformaties helemaal niet meer te beschouwen, omdat je dan triviaal hebt dat AB = AC if and only if B = C.


Het boek is daar niet duidelijk over, wel wordt er verklaard dat voor een vector de componenten bij overgang naar een ander referentiestelsel op de zelfde manier moeten transformeren als de coördinaten. Om dat te kunnen verifiëren moet je echter eerst weten wat een vector is. En zo draaien we in rondjes. Met mijn definitie uit berichtje #10 is het duidelijk wat een vector is, en wordt per definitie aan het gevraagde voldaan. Vraag is alleen of die definitie ook verderop in de relativiteitstheorie nog bruikbaar is.

Veranderd door Bartjes, 15 oktober 2014 - 21:37


#13

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2014 - 16:02

Bartjes,

 

 

Als ik de tekst in het boek vluchtig doorneem, is het inderdaad de bedoeling om vanuit de traditionele euclidische vektoren (die we allen in de middelbare school leren ) over te stappen naar de tangent spaces van een variêteit. De four velocity vector is bv zo een vektor.

Ik zou zeggen doorlezen tot je er echt niets meer van snapt, terug herbeginnen en doorlezen tot je er niets meer van snapt (normaal kom je dan al een stap verder), terug herbeginnen ...

het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#14

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 25 oktober 2014 - 00:06

Lezen en herlezen zullen inderdaad heel belangrijk zijn.

 

Wel heb ik inmiddels een zeer verhelderende definitie in een ander boek gevonden die goed aansluit bij mijn opzetje uit berichtje #10:

 

http://books.google....rinfeld&f=false


#15

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2461 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 oktober 2014 - 11:12

de traditionele euclidische vektoren (die we allen in de middelbare school leren )

Hier in Nederland was dat na de invoering van het nieuwe leerplan voor wiskunde in 1968 nog wel het geval, maar in de loop van de jaren '90 is het vectorbegrip uit het Nederlandse wiskunde-onderwijs verdwenen.

"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures